ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

a) $\log_5 x > \log_5(3x — 4)$;

б) $\log_{0.6}(2x — 1) < \log_{0.6} x$;

в) $\log_{\frac{1}{3}}(5x — 9) \geq \log_{\frac{1}{3}} 4x$;

г) $\log_3(8 — 6x) \leq \log_3 2x$

Решить неравенство:

a) $\log_5 x > \log_5(3x — 4)$;
$x > 3x — 4$;
$2x < 4$;
$x < 2$;

Выражение имеет смысл при:
$3x — 4 > 0$;
$3x > 4$;
$x > \frac{4}{3}$;

Ответ: $x \in \left( \frac{4}{3};\ 2 \right)$.

б) $\log_{0.6}(2x — 1) < \log_{0.6} x$;
$2x — 1 > x$;
$x > 1$;

Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;

Ответ: $x \in (1;\ +\infty)$.

в) $\log_{\frac{1}{3}}(5x — 9) \geq \log_{\frac{1}{3}} 4x$;
$5x — 9 \leq 4x$;
$x \leq 9$;

Выражение имеет смысл при:
$5x — 9 > 0$;
$5x > 9$;
$x > 1{,}8$;

Ответ: $x \in (1{,}8;\ 9]$.

г) $\log_3(8 — 6x) \leq \log_3 2x$;
$8 — 6x \leq 2x$;
$8x \geq 8$;
$x \geq 1$;

Выражение имеет смысл при:
$8 — 6x > 0$;
$6x < 8$;
$x < \frac{4}{3}$;

Ответ: $x \in \left[1;\ \frac{4}{3}\right)$.

а) $\log_5 x > \log_5(3x — 4)$

Шаг 1: Определим основание логарифма

Основание $5 > 1$, значит функция $\log_5 t$ возрастает, и неравенство сохраняет знак:

$$\log_5 x > \log_5(3x — 4) \Rightarrow x > 3x — 4$$

Шаг 2: Решаем неравенство

$$x > 3x — 4 \Rightarrow -2x > -4 \Rightarrow x < 2$$

Шаг 3: ОДЗ логарифмов

Чтобы логарифмы существовали, их аргументы должны быть положительными:

• $x > 0$
• $3x — 4 > 0 \Rightarrow x > \frac{4}{3}$

Шаг 4: Объединяем условия

Найдено:

• $x < 2$
• $x > \frac{4}{3}$

Итог:

$$x \in \left( \frac{4}{3};\ 2 \right)$$

Ответ:

$$\boxed{x \in \left( \frac{4}{3};\ 2 \right)}$$

б) $\log_{0{,}6}(2x — 1) < \log_{0{,}6} x$

Шаг 1: Основание логарифма

Основание $0{,}6 < 1 \Rightarrow$ логарифмическая функция убывает.
Значит, знак меняется:

$$2x — 1 > x \Rightarrow x > 1$$

Шаг 2: ОДЗ

Аргументы логарифмов должны быть положительными:

• $x > 0$
• $2x — 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$

Итоговая ОДЗ:

$$x > 1 \Rightarrow x \in (1; +\infty)$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (1;\ +\infty)}$$

в) $\log_{\frac{1}{3}}(5x — 9) \geq \log_{\frac{1}{3}} 4x$

Шаг 1: Основание логарифма

Основание $\frac{1}{3} < 1 \Rightarrow$ логарифмическая функция убывает, знак меняется:

$$5x — 9 \leq 4x \Rightarrow x \leq 9$$

Шаг 2: ОДЗ

Аргументы положительные:

• $5x — 9 > 0 \Rightarrow x > \frac{9}{5} = 1{,}8$
• $4x > 0 \Rightarrow x > 0$

ОДЗ: $x > 1{,}8$

Шаг 3: Совмещение условий

• $x > 1{,}8$
• $x \leq 9$

Итог:

$$x \in (1{,}8;\ 9]$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (1{,}8;\ 9]}$$

г) $\log_3(8 — 6x) \leq \log_3 2x$

Шаг 1: Основание логарифма

Основание $3 > 1 \Rightarrow$ логарифмическая функция возрастает, знак сохраняется:

$$8 — 6x \leq 2x \Rightarrow 8 \leq 8x \Rightarrow x \geq 1$$

Шаг 2: ОДЗ

• $8 — 6x > 0 \Rightarrow x < \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
• $2x > 0 \Rightarrow x > 0$

ОДЗ: $x \in (0;\ \frac{4}{3})$

Шаг 3: Совмещение условий

• $x \geq 1$
• $x < \frac{4}{3}$

Итог:

$$x \in [1;\ \frac{4}{3})$$

Ответ:

$$\boxed{x \in \left[1;\ \frac{4}{3}\right)}$$