ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

a) $\log_3(x^2 + 6) < \log_3 5x$;

б) $\log_{0.6}(6x — x^2) > \log_{0.6}(-8 — x)$;

в) $\lg(x^2 — 8) \leq \lg(2 — 9x)$;

г) $\log_{\sqrt{2}}(x^2 + 10x) \geq \log_{\sqrt{2}}(x — 14)$

Решить неравенство:

a) $\log_3(x^2 + 6) < \log_3 5x$;
$x^2 + 6 < 5x$;
$x^2 — 5x + 6 < 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:
$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;
$(x — 2)(x — 3) < 0$;
$2 < x < 3$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2 + 6 > 0$;
$x \in \mathbb{R}$;

Ответ: $x \in (2; 3)$.

б) $\log_{0.6}(6x — x^2) > \log_{0.6}(-8 — x)$;
$6x — x^2 < -8 — x$;
$x^2 — 7x — 8 > 0$;
$D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 81$, тогда:
$x_1 = \frac{7 — 9}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8$;
$(x + 1)(x — 8) > 0$;
$x < -1$ или $x > 8$;

Выражение имеет смысл при:
$6x — x^2 > 0$;
$x^2 — 6x < 0$;
$x(x — 6) < 0$;
$0 < x < 6$;

Ответ: $x \in \varnothing$.

в) $\lg(x^2 — 8) \leq \lg(2 — 9x)$;
$x^2 — 8 \leq 2 — 9x$;
$x^2 + 9x — 10 \leq 0$;
$D = 9^2 + 4 \cdot 10 = 81 + 40 = 121$, тогда:
$x_1 = \frac{-9 — 11}{2} = -10$ и $x_2 = \frac{-9 + 11}{2} = 1$;
$(x + 10)(x — 1) \leq 0$;
$-10 \leq x \leq 1$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2 — 8 > 0$;
$(x + 2\sqrt{2})(x — 2\sqrt{2}) > 0$;
$x < -2\sqrt{2}$ или $x > 2\sqrt{2}$;

Ответ: $x \in [-10; -2\sqrt{2})$.

г) $\log_{\sqrt{2}}(x^2 + 10x) \geq \log_{\sqrt{2}}(x — 14)$;
$x^2 + 10x \geq x — 14$;
$x^2 + 9x + 14 \geq 0$;
$D = 9^2 — 4 \cdot 14 = 81 — 56 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{-9 — 5}{2} = -7$ и $x_2 = \frac{-9 + 5}{2} = -2$;
$(x + 7)(x + 2) \geq 0$;
$x \leq -7$ или $x \geq -2$;

Выражение имеет смысл при:
$x — 14 > 0$;
$x > 14$;

Ответ: $x \in (14; +\infty)$.

а) $\log_3(x^2 + 6) < \log_3 5x$

Шаг 1: Основание логарифма

Основание $3 > 1$, функция возрастает ⇒ знак сохраняется:

$$\log_3(x^2 + 6) < \log_3(5x) \Rightarrow x^2 + 6 < 5x$$

Шаг 2: Решаем неравенство

$$x^2 — 5x + 6 < 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Корни:

$$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$ $$(x — 2)(x — 3) < 0 \Rightarrow x \in (2;\ 3)$$

Шаг 3: ОДЗ

• $x^2 + 6 > 0$: выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$
• $5x > 0 \Rightarrow x > 0$

Ответ:

$$\boxed{x \in (2;\ 3)}$$

б) $\log_{0.6}(6x — x^2) > \log_{0.6}(-8 — x)$

Шаг 1: Основание логарифма

Основание $0.6 < 1$, функция убывает, знак меняется:

$$6x — x^2 < -8 — x \Rightarrow x^2 — 7x — 8 > 0$$

Шаг 2: Решаем неравенство

$$x^2 — 7x — 8 > 0 \Rightarrow D = 49 + 32 = 81$$ $$x_1 = \frac{7 — 9}{2} = -1,\quad x_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8$$ $$(x + 1)(x — 8) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$$

Шаг 3: ОДЗ

Первая функция: $6x — x^2 > 0 \Rightarrow x(6 — x) > 0 \Rightarrow x \in (0; 6)$

Вторая функция: $-8 — x > 0 \Rightarrow x < -8$

Совместить всё:

• Решение: $x \in (-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$
• ОДЗ: $x \in (0; 6)$ и одновременно $x < -8$

Пересечения нет.

Ответ:

$$\boxed{x \in \varnothing}$$

в) $\lg(x^2 — 8) \leq \lg(2 — 9x)$

Шаг 1: Основание десятичного логарифма $> 1$ ⇒ знак сохраняется

$$x^2 — 8 \leq 2 — 9x \Rightarrow x^2 + 9x — 10 \leq 0$$

Шаг 2: Решаем неравенство

$$D = 9^2 + 4 \cdot 10 = 121 \Rightarrow x_1 = -10,\quad x_2 = 1$$ $$(x + 10)(x — 1) \leq 0 \Rightarrow x \in [-10;\ 1]$$

Шаг 3: ОДЗ

Условие 1: $x^2 — 8 > 0$

$$x^2 > 8 \Rightarrow x < -2\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x > 2\sqrt{2}$$

Условие 2: $2 — 9x > 0 \Rightarrow x < \frac{2}{9}$

ОДЗ: $x < \frac{2}{9}$ и $x < -2\sqrt{2}$ или $x > 2\sqrt{2}$

Шаг 4: Пересекаем с решением $x \in [-10; 1]$

ОДЗ в решении: только отрезок $[-10;\ -2\sqrt{2})$

Ответ:

$$\boxed{x \in [-10;\ -2\sqrt{2})}$$

г) $\log_{\sqrt{2}}(x^2 + 10x) \geq \log_{\sqrt{2}}(x — 14)$

Шаг 1: Основание $\sqrt{2} > 1$ ⇒ знак сохраняется

$$x^2 + 10x \geq x — 14 \Rightarrow x^2 + 9x + 14 \geq 0$$

Шаг 2: Решаем квадратное неравенство

$$D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 — 56 = 25 \Rightarrow x_1 = -7,\quad x_2 = -2$$ $$(x + 7)(x + 2) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty;\ -7] \cup [-2;\ +\infty)$$

Шаг 3: ОДЗ

Условие 1: $x^2 + 10x > 0$

Нули: $x(x + 10) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -10) \cup (0; +\infty)$

Условие 2: $x — 14 > 0 \Rightarrow x > 14$

ОДЗ итог: Пересечение трёх условий:

• $x > 14$
• Принадлежит $(-\infty; -7] \cup [-2; +\infty)$
• И одновременно $x \in (0; +\infty)$

Итог: $x > 14$

Ответ:

$$\boxed{x \in (14;\ +\infty)}$$

Окончательные ответы:

а) $\boxed{x \in (2;\ 3)}$
б) $\boxed{x \in \varnothing}$
в) $\boxed{x \in [-10;\ -2\sqrt{2})}$
г) $\boxed{x \in (14;\ +\infty)}$