ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

a) $\log_{\frac{1}{2}}(6 — x) \geq \log_{\frac{1}{2}}x^2$;

б) $\log_{0{,}3}(x^2 + 22) < \log_{0{,}3}13x$;

в) $\log_{\frac{1}{4}}(-x — 6) \leq \log_{\frac{1}{4}}(6 — x^2)$;

г) $\log_{0{,}5}(x^2 — 27) > \log_{0{,}5}6x$

Решить неравенство:

a) $\log_{\frac{1}{2}}(6 — x) \geq \log_{\frac{1}{2}}x^2$;
$6 — x \leq x^2$;
$x^2 + x — 6 \geq 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$;
$(x + 3)(x — 2) \geq 0$;
$x \leq -3$ или $x \geq 2$;

Выражение имеет смысл при:
$6 — x > 0$;
$x < 6$;

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [2; 6)$.

б) $\log_{0{,}3}(x^2 + 22) < \log_{0{,}3}13x$;
$x^2 + 22 > 13x$;
$x^2 — 13x + 22 > 0$;
$D = 13^2 — 4 \cdot 22 = 169 — 88 = 81$, тогда:
$x_1 = \frac{13 — 9}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{13 + 9}{2} = 11$;
$(x — 2)(x — 11) > 0$;
$x < 2$ или $x > 11$;

Выражение имеет смысл при:
$13x > 0$;
$x > 0$;

Ответ: $x \in (0; 2) \cup (11; +\infty)$.

в) $\log_{\frac{1}{4}}(-x — 6) \leq \log_{\frac{1}{4}}(6 — x^2)$;
$-x — 6 \geq 6 — x^2$;
$x^2 — x — 12 \geq 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$, тогда:
$x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4$;
$(x + 3)(x — 4) \geq 0$;
$x \leq -3$ или $x \geq 4$;

Выражение имеет смысл при:
$-x — 6 > 0$;
$x < -6$;
$6 — x^2 > 0$;
$x^2 — 6 < 0$;
$(x + \sqrt{6})(x — \sqrt{6}) < 0$;
$-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$;

Ответ: $x \in \varnothing$.

г) $\log_{0{,}5}(x^2 — 27) > \log_{0{,}5}6x$;
$x^2 — 27 < 6x$;
$x^2 — 6x — 27 < 0$;
$D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144$, тогда:
$x_1 = \frac{6 — 12}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{6 + 12}{2} = 9$;
$(x + 3)(x — 9) < 0$;
$-3 < x < 9$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2 — 27 > 0$;
$(x + 3\sqrt{3})(x — 3\sqrt{3}) > 0$;
$x < -3\sqrt{3}$ или $x > 3\sqrt{3}$;

Ответ: $x \in (3\sqrt{3}; 9)$.

а)

$$\log_{\frac{1}{2}}(6 — x) \geq \log_{\frac{1}{2}}x^2$$

Шаг 1: Основание логарифма

$\frac{1}{2} < 1$ ⇒ логарифмическая функция убывает ⇒ знак неравенства меняется:

$$6 — x \leq x^2$$

Шаг 2: Переносим все в одну часть

$$x^2 + x — 6 \geq 0$$

Шаг 3: Решаем квадратное неравенство

$$D=1^2+4\cdot 6=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm 5}{2}\Rightarrow x_1=-3,x_2=2$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 25,\quad x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \Rightarrow x_1 = -3,\ x_2 = 2$$ $$(x + 3)(x — 2) \geq 0 \Rightarrow x \leq -3\ \text{или}\ x \geq 2$$

Шаг 4: ОДЗ

Чтобы логарифмы существовали:

• $6 — x > 0 \Rightarrow x < 6$
• $x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0$

Шаг 5: Пересечение с ОДЗ

• Решение: $x \in (-\infty; -3] \cup [2; +\infty)$
• ОДЗ: $x < 6,\ x \neq 0$

Итог:

$$x \in (-\infty; -3] \cup [2; 6)$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty;\ -3] \cup [2;\ 6)}$$

б)

$$\log_{0{,}3}(x^2 + 22) < \log_{0{,}3}(13x)$$

Шаг 1: Основание $< 1$ ⇒ функция убывает ⇒ меняем знак:

$$x^2 + 22 > 13x \Rightarrow x^2 — 13x + 22 > 0$$

Шаг 2: Решаем неравенство

$$D=169-88=81,$$

$$D = 169 — 88 = 81,\quad x_1 = 2,\ x_2 = 11 \Rightarrow (x — 2)(x — 11) > 0 \Rightarrow x < 2 \ \text{или} \ x > 11$$

Шаг 3: ОДЗ

• $x^2 + 22 > 0$: верно всегда
• $13x > 0 \Rightarrow x > 0$

Шаг 4: Пересечение

• Решение: $x < 2 \cup x > 11$
• ОДЗ: $x > 0$

Итог:

$$x \in (0;\ 2) \cup (11;\ +\infty)$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (0;\ 2) \cup (11;\ +\infty)}$$

в)

$$\log_{\frac{1}{4}}(-x — 6) \leq \log_{\frac{1}{4}}(6 — x^2)$$

Шаг 1: Основание $< 1$ ⇒ функция убывает ⇒ меняем знак:

$$-x — 6 \geq 6 — x^2 \Rightarrow x^2 — x — 12 \geq 0$$

Шаг 2: Решаем квадратное неравенство

$$D=1^2+4\cdot 12=49,$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 49,\quad x_1 = -3,\ x_2 = 4 \Rightarrow (x + 3)(x — 4) \geq 0 \Rightarrow x \leq -3\ \text{или}\ x \geq 4$$

Шаг 3: ОДЗ

1. $-x — 6 > 0 \Rightarrow -x > 6 \Rightarrow x < -6$

2. $6 — x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 6 \Rightarrow x \in (-\sqrt{6};\ \sqrt{6})$

Шаг 4: Пересечение условий

• Решение: $x \leq -3 \cup x \geq 4$
• ОДЗ: $x < -6$ и $x \in (-\sqrt{6};\ \sqrt{6})$

Итог: только пересечение $x < -6$ и $x \leq -3$ и $x \in (-\sqrt{6};\ \sqrt{6})$

Но:

• $x < -6$ и $x \in (-\sqrt{6};\ \sqrt{6})$ несовместимы, так как $\sqrt{6} \approx 2.45$

Итог:

$$\boxed{x \in \varnothing}$$

г)

$$\log_{0{,}5}(x^2 — 27) > \log_{0{,}5}(6x)$$

Шаг 1: Основание $< 1$ ⇒ логарифм убывает ⇒ меняем знак:

$$x^2 — 27 < 6x \Rightarrow x^2 — 6x — 27 < 0$$

Шаг 2: Решаем квадратное неравенство

$$D=36+108=144,$$

$$D = 36 + 108 = 144,\quad x_1 = -3,\ x_2 = 9 \Rightarrow (x + 3)(x — 9) < 0 \Rightarrow x \in (-3;\ 9)$$

Шаг 3: ОДЗ

1. $x^2 — 27 > 0 \Rightarrow x < -3\sqrt{3}$ или $x > 3\sqrt{3}$

(потому что $x^2 > 27 \Rightarrow x < -\sqrt{27}$ или $x > \sqrt{27}$, $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$)

2. $6x > 0 \Rightarrow x > 0$

Шаг 4: Пересечение

• Решение: $x \in (-3;\ 9)$
• ОДЗ: $x > 3\sqrt{3} \approx 5.196$

Итог:

$$x \in (3\sqrt{3};\ 9)$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (3\sqrt{3};\ 9)}$$

Итоги всех пунктов:

а) $\boxed{x \in (-\infty;\ -3] \cup [2;\ 6)}$

б) $\boxed{x \in (0;\ 2) \cup (11;\ +\infty)}$

в) $\boxed{x \in \varnothing}$

г) $\boxed{x \in (3\sqrt{3};\ 9)}$