ГДЗ 10-11 Класс Номер 46.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\frac{{\log }_{2}56}{{\log }_{28}2}-\frac{{\log }_{2}7}{{\log }_{224}2}$$

б)

$$\frac{{\log }_{3}135}{{\log }_{45}3}-\frac{{\log }_{3}5}{{\log }_{1215}3}$$

Вычислить значение:

а)

$$\frac{\log_2 56}{\log_{28} 2} — \frac{\log_2 7}{\log_{224} 2} = \log_2 56 \cdot \log_2 28 — \log_2 7 \cdot \log_2 224 =$$ $$= \log_2 (7 \cdot 8) \cdot \log_2 (7 \cdot 4) — \log_2 7 \cdot \log_2 (7 \cdot 32) =$$ $$= (\log_2 7 + \log_2 8)(\log_2 7 + \log_2 4) — \log_2 7 \cdot (\log_2 7 + \log_2 32) =$$ $$= (\log_2 7 + 3)(\log_2 7 + 2) — \log_2 7 \cdot (\log_2 7 + 5) =$$ $$= \log_2^2 7 + 2\log_2 7 + 3\log_2 7 + 6 — \log_2^2 7 — 5\log_2 7 = 6;$$

Ответ: 6.

б)

$$\frac{\log_3 135}{\log_{45} 3} — \frac{\log_3 5}{\log_{1215} 3} = \log_3 135 \cdot \log_3 45 — \log_3 5 \cdot \log_3 1215 =$$ $$= \log_3 (5 \cdot 27) \cdot \log_3 (5 \cdot 9) — \log_3 5 \cdot \log_3 (5 \cdot 243) =$$ $$= (\log_3 5 + \log_3 27)(\log_3 5 + \log_3 9) — \log_3 5 \cdot (\log_3 5 + \log_3 243) =$$ $$= (\log_3 5 + 3)(\log_3 5 + 2) — \log_3 5 \cdot (\log_3 5 + 5) =$$ $$= \log_3^2 5 + 2\log_3 5 + 3\log_3 5 + 6 — \log_3^2 5 — 5\log_3 5 = 6;$$

Ответ: 6.

а)

Выражение:

$$\frac{\log_2 56}{\log_{28} 2} — \frac{\log_2 7}{\log_{224} 2}$$

Шаг 1: Преобразуем логарифмы с разными основаниями.
Воспользуемся формулой:

$$\frac{\log_a b}{\log_c b} = \log_c a$$

Также:

$$\frac{\log_b a}{\log_b c} = \frac{1}{\frac{\log_c b}{\log_c a}} = \log_c a \cdot \log_c b = \log_c a \cdot \log_c b$$

Но в данном случае проще использовать:

$$\frac{\log_x y}{\log_z y} = \log_z x$$

Однако здесь удобно использовать:

$$\frac{\log_2 56}{\log_{28} 2} = \log_2 56 \cdot \log_2 28 \quad \text{и} \quad \frac{\log_2 7}{\log_{224} 2} = \log_2 7 \cdot \log_2 224$$

Итог:

$$\frac{\log_2 56}{\log_{28} 2} — \frac{\log_2 7}{\log_{224} 2} = \log_2 56 \cdot \log_2 28 — \log_2 7 \cdot \log_2 224$$

Шаг 2: Разложим числа на множители:

• $56 = 7 \cdot 8$
• $28 = 7 \cdot 4$
• $224 = 7 \cdot 32$

Подставим:

$$= \log_2 (7 \cdot 8) \cdot \log_2 (7 \cdot 4) — \log_2 7 \cdot \log_2 (7 \cdot 32)$$

Шаг 3: Используем свойство логарифма:

$$\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$$

Применим:

• $\log_2 (7 \cdot 8) = \log_2 7 + \log_2 8$
• $\log_2 (7 \cdot 4) = \log_2 7 + \log_2 4$
• $\log_2 (7 \cdot 32) = \log_2 7 + \log_2 32$

Подставим:

$$= (\log_2 7 + \log_2 8)(\log_2 7 + \log_2 4) — \log_2 7 (\log_2 7 + \log_2 32)$$

Шаг 4: Вычислим логарифмы степеней двойки:

• $\log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3$
• $\log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2$
• $\log_2 32 = \log_2 (2^5) = 5$

Подставим:

$$= (\log_2 7 + 3)(\log_2 7 + 2) — \log_2 7 (\log_2 7 + 5)$$

Шаг 5: Раскроем скобки:

Первая часть:

$$(\log_2 7 + 3)(\log_2 7 + 2) = \log_2^2 7 + 2\log_2 7 + 3\log_2 7 + 6 = \log_2^2 7 + 5\log_2 7 + 6$$

Вторая часть:

$$\log_2 7 (\log_2 7 + 5) = \log_2^2 7 + 5\log_2 7$$

Шаг 6: Вычтем:

$$(\log_2^2 7 + 5\log_2 7 + 6) — (\log_2^2 7 + 5\log_2 7) = 6$$

Ответ: 6

б)

Выражение:

$$\frac{\log_3 135}{\log_{45} 3} — \frac{\log_3 5}{\log_{1215} 3}$$

Шаг 1: Преобразуем так же, как и в пункте (а):

$$= \log_3 135 \cdot \log_3 45 — \log_3 5 \cdot \log_3 1215$$

Шаг 2: Разложим числа на множители:

• $135 = 5 \cdot 27$
• $45 = 5 \cdot 9$
• $1215 = 5 \cdot 243$

Подставим:

$$= \log_3 (5 \cdot 27) \cdot \log_3 (5 \cdot 9) — \log_3 5 \cdot \log_3 (5 \cdot 243)$$

Шаг 3: Используем свойства логарифма:

$${\log }_3(5\cdot 27)={\log }_{3}5+{\log }_{3}27{\log }_3(5\cdot 9)={\log }_{3}5+{\log }_{3}9$$

$$\log_3 (5 \cdot 27) = \log_3 5 + \log_3 27 \quad \log_3 (5 \cdot 9) = \log_3 5 + \log_3 9 \quad \log_3 (5 \cdot 243) = \log_3 5 + \log_3 243$$

Шаг 4: Вычислим логарифмы:

• $\log_3 27 = \log_3 (3^3) = 3$
• $\log_3 9 = \log_3 (3^2) = 2$
• $\log_3 243 = \log_3 (3^5) = 5$

Подставим:

$$= (\log_3 5 + 3)(\log_3 5 + 2) — \log_3 5 (\log_3 5 + 5)$$

Шаг 5: Раскроем скобки:

Первая часть:

$$(\log_3 5 + 3)(\log_3 5 + 2) = \log_3^2 5 + 2\log_3 5 + 3\log_3 5 + 6 = \log_3^2 5 + 5\log_3 5 + 6$$

Вторая часть:

$$\log_3 5 (\log_3 5 + 5) = \log_3^2 5 + 5\log_3 5$$

Шаг 6: Вычтем:

$$(\log_3^2 5 + 5\log_3 5 + 6) — (\log_3^2 5 + 5\log_3 5) = 6$$

Ответ: 6

Итоговые ответы:

а) 6
б) 6