ГДЗ 10-11 Класс Номер 46.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что: $\lg 2 = a$, $\lg 3 = b$. Вычислите:

а) $$${\log }_{4}12$

б) $$${\log }_{6}18$

в) $$${\log }_{0,5}3$

г) ${}_{}$${\log }_{\frac{1}{3}}24$

Известно, что: $\lg 2 = a$, $\lg 3 = b$;

а) $$$\log_4 12 = \dfrac{\lg 12}{\lg 4} = \dfrac{\lg(2^2 \cdot 3)}{\lg 2^2} = \dfrac{2\lg 2 + \lg 3}{2\lg 2} = \dfrac{2a + b}{2a} = 1 + \dfrac{b}{2a}$;

Ответ: $1 + \dfrac{b}{2a}$.

б) $$$\log_6 18 = \dfrac{\lg 18}{\lg 6} = \dfrac{\lg(2 \cdot 3^2)}{\lg(2 \cdot 3)} = \dfrac{\lg 2 + 2\lg 3}{\lg 2 + \lg 3} = \dfrac{a + 2b}{a + b}$;

Ответ: $\dfrac{a + 2b}{a + b}$.

в) $$$\log_{0,5} 3 = \dfrac{\lg 3}{\lg 0,5} = \dfrac{\lg 3}{\lg 2^{-1}} = \dfrac{\lg 3}{-\lg 2} = -\dfrac{b}{a}$;

Ответ: $-\dfrac{b}{a}$.

г) ${}_{}$$\log_{\frac{1}{3}} 24 = \dfrac{\lg 24}{\lg \frac{1}{3}} = \dfrac{\lg(2^3 \cdot 3)}{\lg 3^{-1}} = \dfrac{3\lg 2 + \lg 3}{-\lg 3} = -\dfrac{3a + b}{b}$;

Ответ: $-\dfrac{3a + b}{b}$.

Известно, что:

$$\lg 2 = a, \quad \lg 3 = b$$

а)

$$\log_4 12$$

Шаг 1. Переход к десятичному логарифму (по основанию 10):

$$\log_4 12 = \frac{\lg 12}{\lg 4}$$

Шаг 2. Разложим $12$ и $4$ на простые множители:

$$12 = 2^2 \cdot 3, \quad 4 = 2^2$$

Шаг 3. Применим свойства логарифмов:

$$\lg (2^2 \cdot 3) = \lg 2^2 + \lg 3 = 2\lg 2 + \lg 3$$ $$\lg 4 = \lg 2^2 = 2 \lg 2$$

Шаг 4. Подставим в исходное выражение:

$$\log_4 12 = \frac{2\lg 2 + \lg 3}{2\lg 2}$$

Шаг 5. Используем обозначения:

$$\lg 2 = a, \quad \lg 3 = b \Rightarrow \frac{2a + b}{2a}$$

Шаг 6. Разделим числитель:

$$\frac{2a + b}{2a} = \frac{2a}{2a} + \frac{b}{2a} = 1 + \frac{b}{2a}$$

Ответ:

$$1 + \frac{b}{2a}$$

б)

$$\log_6 18$$

Шаг 1. Переход к десятичному логарифму:

$$\log_6 18 = \frac{\lg 18}{\lg 6}$$

Шаг 2. Разложим числа на простые множители:

$$18 = 2 \cdot 3^2, \quad 6 = 2 \cdot 3$$

Шаг 3. Используем свойства логарифма произведения:

$$\lg 18 = \lg(2 \cdot 3^2) = \lg 2 + \lg 3^2 = \lg 2 + 2 \lg 3$$ $$\lg 6 = \lg(2 \cdot 3) = \lg 2 + \lg 3$$

Шаг 4. Подставим:

$$\log_6 18 = \frac{\lg 2 + 2\lg 3}{\lg 2 + \lg 3}$$

Шаг 5. Заменим логарифмы:

$$\lg 2 = a, \quad \lg 3 = b \Rightarrow \frac{a + 2b}{a + b}$$

Ответ:

$$\frac{a + 2b}{a + b}$$

в)

$$\log_{0.5} 3$$

Шаг 1. Переход к десятичному логарифму:

$$\log_{0.5} 3 = \frac{\lg 3}{\lg 0.5}$$

Шаг 2. Представим $0.5 = 2^{-1}$

Тогда:

$$\lg 0.5 = \lg (2^{-1}) = -\lg 2$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{\lg 3}{-\lg 2} = -\frac{\lg 3}{\lg 2}$$

Шаг 4. Заменим логарифмы:

$$\lg 2 = a, \quad \lg 3 = b \Rightarrow -\frac{b}{a}$$

Ответ:

$$-\frac{b}{a}$$

г)

$$\log_{\frac{1}{3}} 24$$

Шаг 1. Переход к десятичному логарифму:

$$\log_{\frac{1}{3}} 24 = \frac{\lg 24}{\lg \frac{1}{3}}$$

Шаг 2. Разложим:

$$24 = 2^3 \cdot 3, \quad \frac{1}{3} = 3^{-1}$$

Шаг 3. Используем свойства логарифмов:

$$\lg 24 = \lg(2^3 \cdot 3) = \lg 2^3 + \lg 3 = 3 \lg 2 + \lg 3$$ $$\lg \frac{1}{3} = \lg(3^{-1}) = -\lg 3$$

Шаг 4. Подставим:

$$\log_{\frac{1}{3}} 24 = \frac{3 \lg 2 + \lg 3}{- \lg 3}$$

Шаг 5. Заменим логарифмы:

$$\lg 2 = a, \quad \lg 3 = b \Rightarrow \frac{3a + b}{-b} = -\frac{3a + b}{b}$$

Ответ:

$$-\frac{3a + b}{b}$$

Итоговые ответы:

а) $1 + \dfrac{b}{2a}$

б) $\dfrac{a + 2b}{a + b}$

в) $-\dfrac{b}{a}$

г) $-\dfrac{3a + b}{b}$