ГДЗ 10-11 Класс Номер 46.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что: $\log_2 5 = a$, $\log_2 3 = b$. Вычислите:

а) $$${\log }_{3}15$

б) $$${\log }_{8}75$

в) $$${\log }_{16}45$

г) $$${\log }_{15}12$

Известно, что: $\log_2 5 = a$, $\log_2 3 = b$;

а) $$$\log_3 15 = \frac{\log_2 15}{\log_2 3} = \frac{\log_2(5 \cdot 3)}{\log_2 3} = \frac{\log_2 5 + \log_2 3}{\log_2 3} = \frac{a + b}{b}$;
Ответ: $\frac{a + b}{b}$.

б) $$$\log_8 75 = \frac{\log_2 75}{\log_2 8} = \frac{\log_2(5^2 \cdot 3)}{\log_2 2^3} = \frac{2\log_2 5 + \log_2 3}{3\log_2 2} = \frac{2a + b}{3}$;
Ответ: $\frac{2a + b}{3}$.

в) $$$\log_{16} 45 = \frac{\log_2 45}{\log_2 16} = \frac{\log_2(5 \cdot 3^2)}{\log_2 2^4} = \frac{\log_2 5 + 2\log_2 3}{4\log_2 2} = \frac{a + 2b}{4}$;
Ответ: $\frac{a + 2b}{4}$.

г) $$$\log_{15} 12 = \frac{\log_2 12}{\log_2 15} = \frac{\log_2(2^2 \cdot 3)}{\log_2(5 \cdot 3)} = \frac{2\log_2 2 + \log_2 3}{\log_2 5 + \log_2 3} = \frac{2 + b}{a + b}$;
Ответ: $\frac{2 + b}{a + b}$.

Дано:

$$\log_2 5 = a,\quad \log_2 3 = b$$

а)

$$\log_3 15$$

Шаг 1. Переход к логарифмам по основанию 2 с помощью формулы смены основания:

$$\log_3 15 = \frac{\log_2 15}{\log_2 3}$$

Шаг 2. Разложим 15:

$$15 = 5 \cdot 3 \Rightarrow \log_2 15 = \log_2 (5 \cdot 3) = \log_2 5 + \log_2 3$$

Шаг 3. Подставим в формулу:

$$\log_3 15 = \frac{\log_2 5 + \log_2 3}{\log_2 3}$$

Шаг 4. Заменим логарифмы на $a$ и $b$:

$$\frac{a + b}{b}$$

Ответ:

$$\frac{a + b}{b}$$

б)

$$\log_8 75$$

Шаг 1. Используем формулу смены основания:

$$\log_8 75 = \frac{\log_2 75}{\log_2 8}$$

Шаг 2. Разложим:

$$75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3 \quad \text{и} \quad 8 = 2^3$$

Шаг 3. Найдём числитель:

$$\log_2 75 = \log_2 (5^2 \cdot 3) = \log_2 5^2 + \log_2 3 = 2\log_2 5 + \log_2 3$$

Шаг 4. Найдём знаменатель:

$$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3\log_2 2 = 3 \quad \text{(так как } \log_2 2 = 1\text{)}$$

Шаг 5. Подставим:

$$\log_8 75 = \frac{2\log_2 5 + \log_2 3}{3}$$

Шаг 6. Заменим:

$$\log_2 5 = a,\quad \log_2 3 = b \Rightarrow \frac{2a + b}{3}$$

Ответ:

$$\frac{2a + b}{3}$$

в)

$$\log_{16} 45$$

Шаг 1. Сменим основание:

$$\log_{16} 45 = \frac{\log_2 45}{\log_2 16}$$

Шаг 2. Разложим:

$$45 = 5 \cdot 9 = 5 \cdot 3^2, \quad 16 = 2^4$$

Шаг 3. Найдём числитель:

$$\log_2 45 = \log_2 (5 \cdot 3^2) = \log_2 5 + \log_2 3^2 = \log_2 5 + 2\log_2 3$$

Шаг 4. Найдём знаменатель:

$$\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4\log_2 2 = 4$$

Шаг 5. Подставим:

$$\log_{16} 45 = \frac{\log_2 5 + 2\log_2 3}{4}$$

Шаг 6. Заменим:

$$= \frac{a + 2b}{4}$$

Ответ:

$$\frac{a + 2b}{4}$$

г)

$$\log_{15} 12$$

Шаг 1. Сменим основание:

$$\log_{15} 12 = \frac{\log_2 12}{\log_2 15}$$

Шаг 2. Разложим:

$$12 = 2^2 \cdot 3, \quad 15 = 5 \cdot 3$$

Шаг 3. Вычислим числитель:

$$\log_2 12 = \log_2 (2^2 \cdot 3) = \log_2 2^2 + \log_2 3 = 2\log_2 2 + \log_2 3 = 2 + \log_2 3$$

(так как $\log_2 2 = 1$)

Шаг 4. Вычислим знаменатель:

$$\log_2 15 = \log_2 (5 \cdot 3) = \log_2 5 + \log_2 3$$

Шаг 5. Подставим:

$$\log_{15} 12 = \frac{2 + \log_2 3}{\log_2 5 + \log_2 3}$$

Шаг 6. Заменим:

$$\log_2 3 = b,\quad \log_2 5 = a \Rightarrow \frac{2 + b}{a + b}$$

Ответ:

$$\frac{2 + b}{a + b}$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{a + b}{b}$
б) $\frac{2a + b}{3}$
в) $\frac{a + 2b}{4}$
г) $\frac{2 + b}{a + b}$