ГДЗ 10-11 Класс Номер 46.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) ${}_{}$$\log_3 x + 1 = 2 \log_x 3$;

б) $\mathrm{}$$2 \log_x 5 — 3 = -\log_5 x$;

в) $$$\log_7 x — 1 = 6 \log_x 7$;

г) ${}_{}$$\log_2 x + 9 \log_x 2 = 10$

Решить уравнение:

а) ${}_{}$$\log_3 x + 1 = 2 \log_x 3$;
$\log_3 x + 1 = \dfrac{2}{\log_3 x}$;
Пусть $y = \log_3 x$, тогда:
$y + 1 = \dfrac{2}{y} \quad |\cdot y$;
$y^2 + y — 2 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$y_1 = \dfrac{-1 — 3}{2} = -2$ и $y_2 = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1$;

Первое значение:
$\log_3 x = -2$;
$x = 3^{-2} = \dfrac{1}{9}$;

Второе значение:
$\log_3 x = 1$;
$x = 3^1 = 3$;

Ответ: $\dfrac{1}{9};\ 3$.

б) $\mathrm{}$$2 \log_x 5 — 3 = -\log_5 x$;
$\dfrac{2}{\log_5 x} — 3 = -\log_5 x$;
Пусть $y = \log_5 x$, тогда:
$\dfrac{2}{y} — 3 = -y \quad |\cdot y$;
$y^2 — 3y + 2 = 0$;
$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$, тогда:
$y_1 = \dfrac{3 — 1}{2} = 1$ и $y_2 = \dfrac{3 + 1}{2} = 2$;

Первое значение:
$\log_5 x = 1$;
$x = 5^1 = 5$;

Второе значение:
$\log_5 x = 2$;
$x = 5^2 = 25$;

Ответ: $5;\ 25$.

в) $$$\log_7 x — 1 = 6 \log_x 7$;
$\log_7 x — 1 = \dfrac{6}{\log_7 x}$;
Пусть $y = \log_7 x$, тогда:
$y — 1 = \dfrac{6}{y} \quad |\cdot y$;
$y^2 — y — 6 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:
$y_1 = \dfrac{1 — 5}{2} = -2$ и $y_2 = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$;

Первое значение:
$\log_7 x = -2$;
$x = 7^{-2} = \dfrac{1}{49}$;

Второе значение:
$\log_7 x = 3$;
$x = 7^3 = 343$;

Ответ: $\dfrac{1}{49};\ 343$.

г) ${}_{}$$\log_2 x + 9 \log_x 2 = 10$;
$\log_2 x + \dfrac{9}{\log_2 x} = 10$;
Пусть $y = \log_2 x$, тогда:
$y + \dfrac{9}{y} = 10 \quad |\cdot y$;
$y^2 — 10y + 9 = 0$;
$D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64$, тогда:
$y_1 = \dfrac{10 — 8}{2} = 1$ и $y_2 = \dfrac{10 + 8}{2} = 9$;

Первое значение:
$\log_2 x = 1$;
$x = 2^1 = 2$;

Второе значение:
$\log_2 x = 9$;
$x = 2^9 = 512$;

Ответ: $2;\ 512$.

а)

Уравнение:

$$\log_3 x + 1 = 2 \log_x 3$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть

Используем формулу смены основания:

$$\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x} \Rightarrow 2 \log_x 3 = \frac{2}{\log_3 x}$$

Подставим в уравнение:

$$\log_3 x + 1 = \frac{2}{\log_3 x}$$

Шаг 2. Вводим замену:

$$y = \log_3 x \Rightarrow y + 1 = \frac{2}{y}$$

Шаг 3. Избавляемся от дроби:

Умножим обе части на $y$:

$$y(y + 1) = 2 \Rightarrow y^2 + y = 2 \Rightarrow y^2 + y — 2 = 0$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$ $$y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \Rightarrow y_1 = -2, \quad y_2 = 1$$

Шаг 5. Возвращаемся к $x$:

• При $y = -2$:

$$\log_3 x = -2 \Rightarrow x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$$

• При $y = 1$:

$$\log_3 x = 1 \Rightarrow x = 3^1 = 3$$

Ответ:

$$\frac{1}{9};\ 3$$

б)

Уравнение:

$$2 \log_x 5 — 3 = -\log_5 x$$

Шаг 1. Переписываем логарифмы через одно основание

$$\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x} \Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{\log_5 x} — 3 = -\log_5 x$$

Шаг 2. Вводим замену:

$$y = \log_5 x \Rightarrow \frac{2}{y} — 3 = -y$$

Шаг 3. Умножим обе части на $y$:

$$2 — 3y = -y^2 \Rightarrow y^2 — 3y + 2 = 0$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$$ $$y_{1,2} = \frac{3 \pm 1}{2} \Rightarrow y_1 = 1, \quad y_2 = 2$$

Шаг 5. Возвращаемся к $x$:

• $\log_5 x = 1 \Rightarrow x = 5^1 = 5$
• $\log_5 x = 2 \Rightarrow x = 5^2 = 25$

Ответ:

$$5;\ 25$$

в)

Уравнение:

$$\log_7 x — 1 = 6 \log_x 7$$

Шаг 1. Сменим основание у правой части:

$$\log_x 7 = \frac{1}{\log_7 x} \Rightarrow 6 \cdot \frac{1}{\log_7 x} = \frac{6}{\log_7 x}$$

Тогда:

$$\log_7 x — 1 = \frac{6}{\log_7 x}$$

Шаг 2. Вводим замену:

$$y = \log_7 x \Rightarrow y — 1 = \frac{6}{y}$$

Шаг 3. Умножим обе части на $y$:

$$y^2 — y = 6 \Rightarrow y^2 — y — 6 = 0$$

Шаг 4. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$$ $$y_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{2} \Rightarrow y_1 = -2, \quad y_2 = 3$$

Шаг 5. Возвращаемся к $x$:

• $\log_7 x = -2 \Rightarrow x = 7^{-2} = \frac{1}{49}$
• $\log_7 x = 3 \Rightarrow x = 7^3 = 343$

Ответ:

$$\frac{1}{49};\ 343$$

г)

Уравнение:

$$\log_2 x + 9 \log_x 2 = 10$$

Шаг 1. Сменим основание во втором логарифме:

$$\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} \Rightarrow 9 \cdot \frac{1}{\log_2 x} = \frac{9}{\log_2 x}$$

Уравнение становится:

$$\log_2 x + \frac{9}{\log_2 x} = 10$$

Шаг 2. Вводим замену:

$$y = \log_2 x \Rightarrow y + \frac{9}{y} = 10$$

Шаг 3. Умножим обе части на $y$:

$$y^2 + 9 = 10y \Rightarrow y^2 — 10y + 9 = 0$$

Шаг 4. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 — 36 = 64$$ $$y_{1,2} = \frac{10 \pm 8}{2} \Rightarrow y_1 = 1, \quad y_2 = 9$$

Шаг 5. Возвращаемся к $x$:

• $\log_2 x = 1 \Rightarrow x = 2^1 = 2$
• $\log_2 x = 9 \Rightarrow x = 2^9 = 512$

Ответ:

$$2;\ 512$$

ИТОГОВЫЕ ОТВЕТЫ:

а) $\dfrac{1}{9};\ 3$
б) $5;\ 25$
в) $\dfrac{1}{49};\ 343$
г) $2;\ 512$