ГДЗ 10-11 Класс Номер 46.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${}_{}$$\log_4(x + 12) \cdot \log_x 2 = 1$;

б) $$$1 + \log_x 5 \cdot \log_7 x = \log_5 35 \cdot \log_x 5$

Решить уравнение:

а) ${}_{}$$\log_4(x + 12) \cdot \log_x 2 = 1$;

$\log_4(x + 12) = \frac{1}{\log_x 2}$;

$\log_4(x + 12) = \log_2 x$;

$\log_4(x + 12) = \log_4 x^2$;

$x + 12 = x^2$;

$x^2 — x — 12 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$, тогда:

$x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4$;

Выражение имеет смысл при:
$x + 12 > 0 \Rightarrow x > -12$;
$x > 0, \; x \ne 1$;

Ответ: 4.

б) $$$1 + \log_x 5 \cdot \log_7 x = \log_5 35 \cdot \log_x 5$;

$1 + \frac{\log_7 x}{\log_5 x} = \frac{\log_5 35}{\log_5 x}$;

$\log_5 x + \log_7 x = \log_5 35$;

$\frac{\log_7 x}{\log_7 5} + \log_5 x = \log_5(5 \cdot 7)$;

$\log_7 x \cdot \log_5 7 + \log_5 x = \log_5 5 + \log_5 7$;

$\log_7 x \cdot (\log_5 7 + 1) = 1 + \log_5 7$;

$\log_7 x = 1$;

$x = 7^1 = 7$;

Выражение имеет смысл при:
$x > 0, \; x \ne 1$;

Ответ: 7.

а)

Уравнение:

$$\log_4(x + 12) \cdot \log_x 2 = 1$$

Шаг 1: Заметим, что логарифмы переменных выражены в разных основаниях.

Чтобы упростить, выразим один логарифм через другой, воспользовавшись формулой:

$$\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} \quad \text{и} \quad \log_4(x + 12) = \frac{\log_2(x + 12)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(x + 12)}{2}$$

Шаг 2: Перепишем уравнение с использованием перехода к одному основанию:

$$\log_4(x + 12) = \frac{1}{\log_x 2} = \log_2 x$$

Пояснение:

$$\text{Так как } \log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}, \text{ то } \frac{1}{\log_x 2} = \log_2 x$$

Шаг 3: Итак, имеем:

$$\log_4(x + 12) = \log_2 x$$

Теперь представим левую часть через логарифм по основанию 2:

$$\log_4(x + 12) = \frac{\log_2(x + 12)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(x + 12)}{2}$$

Шаг 4: Получаем уравнение:

$$\frac{\log_2(x + 12)}{2} = \log_2 x \quad |\cdot 2 \Rightarrow \log_2(x + 12) = 2 \log_2 x$$

Шаг 5: Применим свойства логарифмов:

$$2 \log_2 x = \log_2 x^2 \Rightarrow \log_2(x + 12) = \log_2 x^2$$

Шаг 6: Убираем логарифмы (так как основания одинаковые):

$$x + 12 = x^2 \Rightarrow x^2 — x — 12 = 0$$

Шаг 7: Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$ $$x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4$$

Шаг 8: Проверка области допустимых значений (ОДЗ):

1. $\log_4(x + 12)$ существует, если $x + 12 > 0 \Rightarrow x > -12$
2. $\log_x 2$ существует, если $x > 0$ и $x \ne 1$

Для $x = -3$:

• $x < 0$ — не удовлетворяет ОДЗ

Для $x = 4$:

• $x + 12 = 16 > 0$
• $x > 0$, $x \ne 1$ — подходит

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 4}}$$

б)

Уравнение:

$$1 + \log_x 5 \cdot \log_7 x = \log_5 35 \cdot \log_x 5$$

Шаг 1: Используем формулу смены основания:

$$\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x} \quad \text{и} \quad \log_7 x = \frac{\log_5 x}{\log_5 7}$$

Подставим всё в уравнение:

Левая часть:

$$1 + \frac{1}{\log_5 x} \cdot \frac{\log_5 x}{\log_5 7} = 1 + \frac{1}{\log_5 7}$$

Правая часть:

$$\log_5 35 \cdot \frac{1}{\log_5 x}$$

Шаг 2: Объединяем:

$$1 + \frac{1}{\log_5 7} = \frac{\log_5 35}{\log_5 x}$$

Шаг 3: Преобразуем правую часть:

$$\log_5 35 = \log_5 (5 \cdot 7) = \log_5 5 + \log_5 7 = 1 + \log_5 7$$ $$\Rightarrow \frac{1 + \log_5 7}{\log_5 x} = 1 + \frac{1}{\log_5 7}$$

Шаг 4: Приравняем числитель и знаменатель:

$$\frac{1 + \log_5 7}{\log_5 x} = \frac{\log_5 7 + 1}{\log_5 x} = \log_x 5 \cdot (\log_5 7 + 1) = 1 + \frac{1}{\log_5 7}$$

То есть:

$$\log_7 x \cdot (\log_5 7 + 1) = 1 + \log_5 7 \Rightarrow \log_7 x = 1$$

Шаг 5: Возвращаемся к $x$:

$$\log_7 x = 1 \Rightarrow x = 7^1 = 7$$

Шаг 6: Проверка ОДЗ:

• $\log_x 5$ существует при $x > 0, x \ne 1$
• $\log_7 x$ существует при $x > 0$

Для $x = 7$:

• Условия выполняются

Ответ:

$$\boxed{7}$$