ГДЗ 10-11 Класс Номер 46.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

a)

$${\log }_{2x+1}(5+8x-4x^2)+{\log }_{5-2x}(1+4x+4x^2)=4;$$

б)

$${\log }_{3x+7}(9+12x+4x^2)=4-{\log }_{2x+3}(6x^2+23x+21)$$

Решить уравнение:

a)

$$\log_{2x+1}(5 + 8x — 4x^2) + \log_{5-2x}(1 + 4x + 4x^2) = 4;$$ $$\log_{2x+1}((5 — 2x)(2x + 1)) + \log_{5-2x}(2x + 1)^2 = 4;$$ $$\log_{2x+1}(5 — 2x) + \log_{2x+1}(2x + 1) + 2\log_{5-2x}(2x + 1) = 4;$$ $$\frac{1}{\log_{5-2x}(2x + 1)} + 1 + 2\log_{5-2x}(2x + 1) = 4;$$

Пусть $y = \log_{5-2x}(2x + 1)$, тогда:

$$\frac{1}{y} + 2y = 3 \quad |\cdot y;$$ $$2y^2 — 3y + 1 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4\cdot2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{3 — 1}{2\cdot2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 1}{2\cdot2} = \frac{4}{4} = 1;$$

Первое значение:

$$\log_{5-2x}(2x + 1) = \frac{1}{2};$$ $$2x + 1 = (5 — 2x)^{\frac{1}{2}};$$ $$4x^2 + 4x + 1 = 5 — 2x;$$ $$4x^2 + 6x — 4 = 0;$$ $$2x^2 + 3x — 2 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4\cdot2\cdot2 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-3 — 5}{2\cdot2} = \frac{-8}{4} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2\cdot2} = \frac{2}{4} = 0,5;$$

Второе значение:

$$\log_{5-2x}(2x + 1) = 1;$$ $$2x + 1 = 5 — 2x;$$ $$4x = 4 \Rightarrow x = 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$5 — 2x > 0 \Rightarrow x < 2,5;$$ $$2x + 1 > 0 \Rightarrow x > -0,5;$$ $$5 — 2x \ne 1 \Rightarrow x \ne 2;$$ $$2x + 1 \ne 1 \Rightarrow x \ne 0;$$

Ответ:

$$0{,}5;\ 1.$$

б)

$$\log_{3x+7}(9 + 12x + 4x^2) = 4 — \log_{2x+3}(6x^2 + 23x + 21);$$ $$\log_{3x+7}(3 + 2x)^2 = 4 — \log_{2x+3}((2x + 3)(3x + 7));$$ $$2\log_{3x+7}(3 + 2x) = 4 — (\log_{2x+3}(2x + 3) + \log_{2x+3}(3x + 7));$$ $$2\log_{3x+7}(3 + 2x) = 4 — 1 — \frac{1}{\log_{3x+7}(2x + 3)};$$

Пусть $y = \log_{3x+7}(2x + 3)$, тогда:

$$2y = 3 — \frac{1}{y} \quad |\cdot y;$$ $$2y^2 — 3y + 1 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4\cdot2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{3 — 1}{2\cdot2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 1}{2\cdot2} = \frac{4}{4} = 1;$$

Первое значение:

$$\log_{3x+7}(2x + 3) = \frac{1}{2};$$ $$2x + 3 = (3x + 7)^{\frac{1}{2}};$$ $$4x^2 + 12x + 9 = 3x + 7;$$ $$4x^2 + 9x + 2 = 0;$$ $$D = 9^2 — 4\cdot4\cdot2 = 81 — 32 = 49, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-9 — 7}{2\cdot4} = \frac{-16}{8} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-9 + 7}{2\cdot4} = \frac{-2}{8} = -0{,}25;$$

Второе значение:

$$\log_{3x+7}(2x + 3) = 1;$$ $$2x + 3 = 3x + 7;$$ $$x = -4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2x + 3 > 0 \Rightarrow x > -1{,}5;$$ $$3x + 7 > 0 \Rightarrow x > -\frac{7}{3} \approx -2{,}33;$$ $$2x + 3 \ne 1 \Rightarrow x \ne -1;$$ $$3x + 7 \ne 1 \Rightarrow x \ne -2;$$

Ответ:

$$-0{,}25.$$

а) Уравнение:

$$\log_{2x+1}(5 + 8x — 4x^2) + \log_{5-2x}(1 + 4x + 4x^2) = 4$$

Приведем выражения под логарифмами к разложенным видам.

В первом логарифме:

$$5 + 8x — 4x^2 = -4x^2 + 8x + 5 = — (4x^2 — 8x — 5)$$

Рассмотрим $5 + 8x — 4x^2 = (5 — 2x)(2x + 1)$, проверим:

$$(5 — 2x)(2x + 1) = 10x + 5 — 4x^2 — 2x = -4x^2 + 8x + 5$$

Верно. Значит:

$$\log_{2x+1}((5 — 2x)(2x + 1))$$

Во втором логарифме:

$$1 + 4x + 4x^2 = (2x + 1)^2$$

Тогда уравнение переписывается:

$$\log_{2x+1}((5 — 2x)(2x + 1)) + \log_{5 — 2x}((2x + 1)^2) = 4$$

Разложим логарифмы с использованием свойств:

$$\log_{2x+1}(5 — 2x) + \log_{2x+1}(2x + 1) + 2\log_{5 — 2x}(2x + 1) = 4$$ $$\log_{2x+1}(2x + 1) = 1$$

Также $\log_{2x+1}(5 — 2x) = \frac{1}{\log_{5 — 2x}(2x + 1)}$

Обозначим:

$$y = \log_{5 — 2x}(2x + 1) \Rightarrow \frac{1}{y} + 1 + 2y = 4$$

Переносим 1:

$$\frac{1}{y} + 2y = 3$$

Умножим обе части на $y$:

$$1 + 2y^2 = 3y \Rightarrow 2y^2 — 3y + 1 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1$$

Корни:

$$y_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad y_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$

Рассмотрим оба случая:

Если $y = \frac{1}{2}$, то

$$\log_{5 — 2x}(2x + 1) = \frac{1}{2} \Rightarrow 2x + 1 = (5 — 2x)^{1/2}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$(2x+1{)}^2=5-2x\Rightarrow 4x^2+4x+1=5-2x\Rightarrow 4x^2+6x-4=0\Rightarrow$$

$$(2x + 1)^2 = 5 — 2x \Rightarrow 4x^2 + 4x + 1 = 5 — 2x \Rightarrow 4x^2 + 6x — 4 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 3x — 2 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2 \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$$

Проверим ОДЗ:
Основание $5 — 2x > 0 \Rightarrow x < 2.5$
Основание $2x + 1 > 0 \Rightarrow x > -0.5$
Также основания не должны быть 1:
$5 — 2x \ne 1 \Rightarrow x \ne 2$
$2x + 1 \ne 1 \Rightarrow x \ne 0$

Тогда $x = 0.5$ — допустимое решение, $x = -2$ — не удовлетворяет $2x + 1 > 0$

Если $y = 1$, то

$$\log_{5 — 2x}(2x + 1) = 1 \Rightarrow 2x + 1 = 5 — 2x \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1$$

Проверим ОДЗ:
$x = 1$ — подходит

Ответ:

$$0.5;\ 1$$

б) Уравнение:

$$\log_{3x + 7}(9 + 12x + 4x^2) = 4 — \log_{2x + 3}(6x^2 + 23x + 21)$$

Преобразуем выражения под логарифмами:

$9 + 12x + 4x^2 = (3 + 2x)^2$

$6x^2 + 23x + 21 = (2x + 3)(3x + 7)$

Тогда:

$$\log_{3x + 7}(3 + 2x)^2 = 4 — \log_{2x + 3}((2x + 3)(3x + 7))$$

Раскроем логарифмы:

$$2 \log_{3x + 7}(3 + 2x) = 4 — \left( \log_{2x + 3}(2x + 3) + \log_{2x + 3}(3x + 7) \right)$$ $$\log_{2x + 3}(2x + 3) = 1, \quad \log_{2x + 3}(3x + 7) = \frac{1}{\log_{3x + 7}(2x + 3)}$$

Тогда:

$$2 \log_{3x + 7}(3 + 2x) = 4 — 1 — \frac{1}{\log_{3x + 7}(2x + 3)} = 3 — \frac{1}{y}$$

Пусть $y = \log_{3x + 7}(2x + 3)$

Тогда:

$$2y = 3 — \frac{1}{y} \Rightarrow 2y^2 — 3y + 1 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 9 — 8 = 1 \Rightarrow y_1 = \frac{3 — 1}{4} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = 1$$

Если $y = \frac{1}{2}$:

$$\log_{3x + 7}(2x + 3) = \frac{1}{2} \Rightarrow 2x + 3 = \sqrt{3x + 7} \Rightarrow (2x + 3)^2 = 3x + 7$$ $$4x^2 + 12x + 9 = 3x + 7 \Rightarrow 4x^2 + 9x + 2 = 0$$ $$D = 81 — 32 = 49 \Rightarrow x_1 = \frac{-9 — 7}{8} = -2, \quad x_2 = \frac{-9 + 7}{8} = -0.25$$

Проверим ОДЗ:
$2x + 3 > 0 \Rightarrow x > -1.5$
$3x + 7 > 0 \Rightarrow x > -\frac{7}{3}$
Также:
$2x + 3 \ne 1 \Rightarrow x \ne -1$
$3x + 7 \ne 1 \Rightarrow x \ne -2$

$x = -2$ — исключается
$x = -0.25$ — подходит

Если $y = 1$:

$$\log_{3x + 7}(2x + 3) = 1 \Rightarrow 2x + 3 = 3x + 7 \Rightarrow x = -4$$

Проверка:
$2x + 3 = -5 < 0$ — не входит в ОДЗ

Ответ:

$$-0.25$$