ГДЗ 10-11 Класс Номер 46.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

a)

$${\log }_9{x}^2+{\log }_3^2(-x)<2;$$

б)

$${\log }_4{x}^2+{\log }_2^2(-x)>6$$

Решить неравенство:

a)

$$\log_9 x^2 + \log_3^2(-x) < 2;$$ $$\log_9 x^2 + \log_{3^2}^2(-x)^2 < 2;$$ $$\log_9 x^2 + \log_9^2 x^2 < 2;$$

Пусть $y = \log_9 x^2$, тогда:

$$y + y^2 < 2;$$ $$y^2 + y — 2 < 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$ $$(y + 2)(y — 1) < 0;$$ $$-2 < y < 1;$$

Первое значение:

$$\log_9 x^2 > -2;$$ $$x^2 > \frac{1}{81};$$ $$x < -\frac{1}{9} \quad \text{или} \quad x > \frac{1}{9};$$

Второе значение:

$$\log_9 x^2 < 1;$$ $$x^2 < 9;$$ $$-3 < x < 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$-x > 0;$$ $$x < 0;$$

Ответ:

$$x \in \left(-3;\ -\frac{1}{9}\right).$$

б)

$$\log_4 x^2 + \log_2^2(-x) > 6;$$ $$\log_4 x^2 + \log_{2^2}^2(-x)^2 > 6;$$ $$\log_4 x^2 + \log_4^2 x^2 > 6;$$

Пусть $y = \log_4 x^2$, тогда:

$$y + y^2 > 6;$$ $$y^2 + y — 6 > 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;$$ $$(y + 3)(y — 2) > 0;$$ $$y < -3 \quad \text{или} \quad y > 2;$$

Первое значение:

$$\log_4 x^2 < -3;$$ $$x^2 < \frac{1}{64};$$ $$-\frac{1}{8} < x < \frac{1}{8};$$

Второе значение:

$$\log_4 x^2 > 2;$$ $$x^2 > 16;$$ $$x < -4 \quad \text{или} \quad x > 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$-x > 0;$$ $$x < 0;$$

Ответ:

$$x \in (-\infty;\ -4) \cup \left(-\frac{1}{8};\ 0\right).$$

а)

Решить неравенство:

$$\log_9 x^2 + \log_3^2(-x) < 2$$

Шаг 1. Преобразуем логарифмы к одному основанию

Второй логарифм — это логарифм по основанию 3 в квадрате:

$$\log_3^2(-x) = (\log_3(-x))^2$$

Но так как выражение под логарифмом должно быть положительным, то:

$$\log_3(-x) \text{ определено только при } -x > 0 \Rightarrow x < 0$$

Также:

$$\log_3(-x)^2 = \log_3((-x)^2) = \log_3(x^2)$$

Следовательно:

$$(\log_3(x^2))^2 = (\log_3 x^2)^2$$

А $\log_3 x^2 = 2 \log_3 |x|$, и:

$$(\log_3 x^2)^2 = 4 \log_3^2 |x|$$

Но в условии задано:

$$\log_3^2(-x) = (\log_3(-x))^2 = \log_9^2 x^2$$

Преобразуем по следующей цепочке:

$$\log_3^2(-x) = (\log_3(-x))^2 = \left( \log_9 x^2 \right)^2, \text{ если заменить основание}$$

Заметим:

$$\log_3 x^2 = \frac{\log_9 x^2}{\log_9 3} = \frac{\log_9 x^2}{1/2} = 2 \log_9 x^2$$

Значит:

$$\log_3^2(-x) = (2 \log_9 x^2)^2 = 4 (\log_9 x^2)^2$$

Но в решении, приведённом в тексте, сделано другое:
всё сводится к:

$$\log_9 x^2 + \log_9^2 x^2 < 2$$

Обозначим:

$$y = \log_9 x^2 \Rightarrow \text{неравенство: } y + y^2 < 2$$

Шаг 2. Решаем квадратное неравенство

Переносим все влево:

$$y^2 + y — 2 < 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2,\quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Решение неравенства:

$$y \in (-2;\ 1)$$

Шаг 3. Возвращаемся к переменной $x$

Итак, $y = \log_9 x^2 \in (-2; 1)$

Рассмотрим оба условия:

1) $\log_9 x^2 > -2$:

$$x^2 > 9^{-2} = \frac{1}{81} \Rightarrow |x| > \frac{1}{9} \Rightarrow x < -\frac{1}{9} \text{ или } x > \frac{1}{9}$$

2) $\log_9 x^2 < 1$:

$$x^2 < 9^1 = 9 \Rightarrow |x| < 3 \Rightarrow x \in (-3;\ 3)$$

Пересечение этих условий:

$$x \in (-3;\ -\frac{1}{9}) \cup (\frac{1}{9};\ 3)$$

Но по ОДЗ:

$$\log_3(-x) \text{ существует, только если } -x > 0 \Rightarrow x < 0$$

Поэтому итоговое решение:

$$x \in (-3;\ -\frac{1}{9})$$

Ответ:

$$x \in \left(-3;\ -\frac{1}{9}\right)$$

б)

Решить неравенство:

$$\log_4 x^2 + \log_2^2(-x) > 6$$

Шаг 1. Преобразуем логарифмы

Аналогично пункту (а):

$$\log_2^2(-x) = (\log_2(-x))^2$$

Условие существования:

$$-x > 0 \Rightarrow x < 0$$

Также:

$$\log_2(-x)^2 = \log_2(x^2) \Rightarrow (\log_2 x^2)^2 = (2 \log_2 |x|)^2 = 4 \log_2^2 |x|$$

Но в решении:

$$\log_2^2(-x) = \log_4^2 x^2$$

Заметим:

$$\log_2 x^2 = 2 \log_2 |x|,\quad \log_4 x^2 = \frac{\log_2 x^2}{\log_2 4} = \frac{2 \log_2 |x|}{2} = \log_2 |x|$$

Следовательно:

$$\log_2(-x)^2 = (\log_2 |x|)^2 = (\log_4 x^2)^2 = \log_4^2 x^2$$

Таким образом:

$$\log_4 x^2 + \log_4^2 x^2 > 6$$

Обозначим:

$$y = \log_4 x^2 \Rightarrow y + y^2 > 6 \Rightarrow y^2 + y — 6 > 0$$

Шаг 2. Решим квадратное неравенство

$$y^2 + y — 6 > 0$$

Дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3,\quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$$

Решение:

$$y \in (-\infty;\ -3) \cup (2;\ \infty)$$

Шаг 3. Вернёмся к $x$

Условие:

$$y = \log_4 x^2$$

1) $\log_4 x^2 < -3$:

$$x^2 < 4^{-3} = \frac{1}{64} \Rightarrow |x| < \frac{1}{8} \Rightarrow x \in \left(-\frac{1}{8};\ \frac{1}{8}\right)$$

2) $\log_4 x^2 > 2$:

$$x^2 > 4^2 = 16 \Rightarrow |x| > 4 \Rightarrow x < -4 \quad \text{или} \quad x > 4$$

Объединение:

$$x \in (-\infty;\ -4) \cup \left(-\frac{1}{8};\ \frac{1}{8}\right) \cup (4;\ \infty)$$

Но с учётом ОДЗ:

$$-x > 0 \Rightarrow x < 0$$

Отсекаем положительные значения.

Итог:

$$x \in (-\infty;\ -4) \cup \left(-\frac{1}{8};\ 0\right)$$

Ответ:

$$x \in (-\infty;\ -4) \cup \left(-\frac{1}{8};\ 0\right)$$