ГДЗ 10-11 Класс Номер 46.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что ${\log }_{2}3=a$. Найдите:

а) ${\log }_{4}9$

б) ${\log }_{8}18$

в) ${\log }_{4}81$

г) ${\log }_{8}54$

Известно, что: $\log_2 3 = a$;

а) $\log_4 9 = \log_{2^2} 3^2 = \log_2 3 = a$;
Ответ: $a$.

б) $\log_8 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 8} = \frac{\log_2 (3^2 \cdot 2)}{\log_2 2^3} = \frac{\log_2 3^2 + \log_2 2}{3} = \frac{2\log_2 3 + 1}{3} = \frac{2a + 1}{3}$;
Ответ: $\frac{2a + 1}{3}$.

в) $\log_4 81 = \log_{2^2} 9^2 = \log_2 9 = \log_2 3^2 = 2\log_2 3 = 2a$;
Ответ: $2a$.

г) $\log_8 54 = \frac{\log_2 54}{\log_2 8} = \frac{\log_2 (3^3 \cdot 2)}{\log_2 2^3} = \frac{\log_2 3^3 + \log_2 2}{3} = \frac{3\log_2 3 + 1}{3} = \frac{3a + 1}{3}$;
Ответ: $\frac{3a + 1}{3}$.

Дано:

$$\log_2 3 = a$$

Необходимо выразить каждое логарифмическое выражение через $a$, выполняя все преобразования строго по шагам.

а) Найти $\log_4 9$

Шаг 1. Представим 4 и 9 как степени:

$$\log_4 9 = \log_{2^2} 3^2$$

Шаг 2. Используем формулу:

$$\log_{b^n} a^m = \frac{m}{n} \log_b a$$

Применим:

$$\log_{2^2} 3^2 = \frac{2}{2} \log_2 3 = \log_2 3$$

Шаг 3. Подставим:

$$\log_2 3 = a$$

Ответ: $\boxed{a}$

б) Найти $\log_8 18$

Шаг 1. Используем формулу смены основания:

$$\log_8 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 8}$$

Шаг 2. Разложим 18:

$$18 = 2 \cdot 3^2 \Rightarrow \log_2 18 = \log_2 (2 \cdot 3^2)$$

Шаг 3. Раскроем логарифм произведения:

$$\log_2 (2 \cdot 3^2) = \log_2 2 + \log_2 3^2 = 1 + 2 \log_2 3$$

Шаг 4. Вычислим знаменатель:

$$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$$

Шаг 5. Подставим:

$$\log_8 18 = \frac{1 + 2 \log_2 3}{3}$$

Шаг 6. Подставим $\log_2 3 = a$:

$$\frac{1 + 2a}{3} = \frac{2a + 1}{3}$$

Ответ: $\boxed{\frac{2a + 1}{3}}$

в) Найти $\log_4 81$

Шаг 1. Представим 81 как степень 9 и затем как $3^2$:

$$\log_4 81 = \log_{2^2} 9^2$$

Шаг 2. Снова применим:

$$\log_{2^2} 9^2 = \log_2 9$$

Так как:

$$\log_{2^2} 9^2 = \frac{2}{2} \log_2 3^2 = \log_2 3^2 = 2 \log_2 3$$

Шаг 3. Подставим:

$$2 \log_2 3 = 2a$$

Ответ: $\boxed{2a}$

г) Найти $\log_8 54$

Шаг 1. Смена основания:

$$\log_8 54 = \frac{\log_2 54}{\log_2 8}$$

Шаг 2. Разложим 54:

$$54 = 2 \cdot 3^3 \Rightarrow \log_2 54 = \log_2 (2 \cdot 3^3)$$

Шаг 3. Раскроем логарифм произведения:

$$\log_2 (2 \cdot 3^3) = \log_2 2 + \log_2 3^3 = 1 + 3 \log_2 3$$

Шаг 4. Знаменатель:

$$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$$

Шаг 5. Подставим:

$$\log_8 54 = \frac{1 + 3 \log_2 3}{3}$$

Шаг 6. Подставим $\log_2 3 = a$:

$$\frac{1 + 3a}{3} = \frac{3a + 1}{3}$$

Ответ: $\boxed{\frac{3a + 1}{3}}$

Итоговые ответы:

а) $a$
б) $\frac{2a + 1}{3}$
в) $2a$
г) $\frac{3a + 1}{3}$