ГДЗ 10-11 Класс Номер 46.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\log_2 6$ и $\log_4 5$;

б) $\log_{\frac{1}{2}} 3$ и $\log_{\frac{1}{4}} 1{,}5$;

в) $\log_9 6$ и $\log_3 7$;

${}_{}$г) $\log_{\frac{1}{3}} 4$ и $\log_{\frac{1}{9}} 7$

Сравнить числа:

а) $\log_2 6$ и $\log_4 5$;
$\log_2 6 = \log_{2^2} 6^2 = \log_4 36$;
$\log_4 36 > \log_4 5$;
Ответ: $\log_2 6 > \log_4 5$.

б) $\log_{\frac{1}{2}} 3$ и $\log_{\frac{1}{4}} 1{,}5$;
$\log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{(\frac{1}{2})^2} 3^2 = \log_{\frac{1}{4}} 9$;
$\log_{\frac{1}{4}} 9 < \log_{\frac{1}{4}} 1{,}5$;
Ответ: $\log_{\frac{1}{2}} 3 < \log_{\frac{1}{4}} 1{,}5$.

в) $\log_9 6$ и $\log_3 7$;
$\log_3 7 = \log_{3^2} 7^2 = \log_9 49$;
$\log_9 6 < \log_9 49$;
Ответ: $\log_9 6 < \log_3 7$.

г) $\log_{\frac{1}{3}} 4$ и $\log_{\frac{1}{9}} 7$;
$\log_{\frac{1}{3}} 4 = \log_{(\frac{1}{3})^2} 4^2 = \log_{\frac{1}{9}} 16$;
$\log_{\frac{1}{9}} 16 < \log_{\frac{1}{9}} 7$;
Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} 4 < \log_{\frac{1}{9}} 7$.

а) Сравнить $\log_2 6$ и $\log_4 5$

Шаг 1. Преобразуем $\log_2 6$ к основанию 4

Используем свойство:

$$\log_b a = \log_{b^n} a^n$$

Так как $4 = 2^2$, преобразуем:

$$\log_2 6 = \log_{2^2} 6^2 = \log_4 36$$

Теперь сравниваем:

$$\log_4 36 \quad \text{и} \quad \log_4 5$$

Шаг 2. Основания одинаковые, значит сравниваем аргументы:

$$36 > 5 \Rightarrow \log_4 36 > \log_4 5$$

Вывод:

$$\log_2 6 > \log_4 5$$

Ответ: $\boxed{\log_2 6 > \log_4 5}$

б) Сравнить $\log_{\frac{1}{2}} 3$ и $\log_{\frac{1}{4}} 1{,}5$

Шаг 1. Преобразуем $\log_{\frac{1}{2}} 3$ к основанию $\frac{1}{4}$

Заметим, что:

$$\log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{(\frac{1}{2})^2} 3^2 = \log_{\frac{1}{4}} 9$$

Теперь сравниваем:

$$\log_{\frac{1}{4}} 9 \quad \text{и} \quad \log_{\frac{1}{4}} 1{,}5$$

Шаг 2. Основания одинаковые: $\frac{1}{4} < 1$

Функция логарифма убывающая, значит:

$$9 > 1{,}5 \Rightarrow \log_{\frac{1}{4}} 9 < \log_{\frac{1}{4}} 1{,}5$$

Вывод:

$$\log_{\frac{1}{2}} 3 < \log_{\frac{1}{4}} 1{,}5$$

Ответ: $\boxed{\log_{\frac{1}{2}} 3 < \log_{\frac{1}{4}} 1{,}5}$

в) Сравнить $\log_9 6$ и $\log_3 7$

Шаг 1. Преобразуем $\log_3 7$ к основанию 9

Поскольку $9 = 3^2$, применим формулу:

$$\log_3 7 = \log_{3^2} 7^2 = \log_9 49$$

Теперь сравниваем:

$$\log_9 6 \quad \text{и} \quad \log_9 49$$

Шаг 2. Основания одинаковые: сравниваем аргументы

$$6 < 49 \Rightarrow \log_9 6 < \log_9 49$$

Вывод:

$$\log_9 6 < \log_3 7$$

Ответ: $\boxed{\log_9 6 < \log_3 7}$

г) Сравнить $\log_{\frac{1}{3}} 4$ и $\log_{\frac{1}{9}} 7$

Шаг 1. Преобразуем $\log_{\frac{1}{3}} 4$ к основанию $\frac{1}{9}$

Так как:

$$\log_{\frac{1}{3}} 4 = \log_{(\frac{1}{3})^2} 4^2 = \log_{\frac{1}{9}} 16$$

Теперь сравниваем:

$$\log_{\frac{1}{9}} 16 \quad \text{и} \quad \log_{\frac{1}{9}} 7$$

Шаг 2. Основания одинаковые: $\frac{1}{9} < 1$, логарифм убывает

$$16 > 7 \Rightarrow \log_{\frac{1}{9}} 16 < \log_{\frac{1}{9}} 7$$

Вывод:

$$\log_{\frac{1}{3}} 4 < \log_{\frac{1}{9}} 7$$

Ответ: $\boxed{\log_{\frac{1}{3}} 4 < \log_{\frac{1}{9}} 7}$

Итоговые ответы:

а) $\log_2 6 > \log_4 5$
б) $\log_{\frac{1}{2}} 3 < \log_{\frac{1}{4}} 1{,}5$
в) $\log_9 6 < \log_3 7$
г) $\log_{\frac{1}{3}} 4 < \log_{\frac{1}{9}} 7$