ГДЗ 10-11 Класс Номер 46.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $3 \log_3^2 x = \frac{5}{\log_x 3} + 2$;

б) $2 \log_2^2 x = \frac{5}{\log_x 2} + 3$

Решить уравнение:

а) $3 \log_3^2 x = \frac{5}{\log_x 3} + 2$;

$3 \log_3^2 x = 5 \log_3 x + 2$;

Пусть $y = \log_3 x$, тогда:
$3y^2 = 5y + 2$;
$3y^2 — 5y — 2 = 0$;

$D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49$, тогда:
$y_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$;
$y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$;

Первое значение:
$\log_3 x = -\frac{1}{3}$;
$x = 3^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$;

Второе значение:
$\log_3 x = 2$;
$x = 3^2 = 9$;

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{3}};\ 9$.

б) $2 \log_2^2 x = \frac{5}{\log_x 2} + 3$;

$2 \log_2^2 x = 5 \log_2 x + 3$;

Пусть $y = \log_2 x$, тогда:
$2y^2 = 5y + 3$;
$2y^2 — 5y — 3 = 0$;

$D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49$, тогда:
$y_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$;
$y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$;

Первое значение:
$\log_2 x = -\frac{1}{2}$;
$x = 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$;

Второе значение:
$\log_2 x = 3$;
$x = 2^3 = 8$;

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{2}};\ 8$.

а) Уравнение:

$$3 \log_3^2 x = \frac{5}{\log_x 3} + 2$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть

Напомним, что:

$$\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$$

Подставим это в уравнение:

$$3 \log_3^2 x = 5 \cdot \log_3 x + 2$$

Шаг 2. Обозначим переменную

Пусть:

$$y = \log_3 x$$

Тогда:

$$3y^2 = 5y + 2$$

Шаг 3. Переносим всё в одну сторону:

$$3y^2 — 5y — 2 = 0$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение

Находим дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$

Находим корни:

$$y_1 = \frac{5 — \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 — 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

Шаг 5. Возвращаемся к переменной $x$

Первый корень:

$$\log_3 x = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = 3^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$$

Второй корень:

$$\log_3 x = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9$$

Ответ:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{3}};\ 9$$

б) Уравнение:

$$2 \log_2^2 x = \frac{5}{\log_x 2} + 3$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть

Используем:

$$\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$$

Подставим:

$$2 \log_2^2 x = 5 \cdot \log_2 x + 3$$

Шаг 2. Обозначим переменную

Пусть:

$$y = \log_2 x$$

Получим:

$$2y^2 = 5y + 3$$

Шаг 3. Переносим всё в одну сторону:

$$2y^2 — 5y — 3 = 0$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение

Находим дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$

Находим корни:

$$y_1 = \frac{5 — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 — 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

Шаг 5. Возвращаемся к переменной $x$

Первый корень:

$$\log_2 x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Второй корень:

$$\log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8$$

Ответ:

$$\frac{1}{\sqrt{2}};\ 8$$