ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Напишите уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х = а:

а) $y = e^x, \ a = 1$

б) $y = e^x, \ a = 2$

в) $y = e^x, \ a = 0$

г) $y=e^x,a=-1$

Написать уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

а) $y = e^x, \ a = 1$

Значение функции:
$y(1) = e^1 = e$

Значение производной:
$y'(x) = (e^x)’ = e^x$
$y'(1) = e^1 = e$

Уравнение касательной:
$y = y(a) + y'(a)(x — a)$
$y = e + e \cdot (x — 1) = e + ex — e = ex$

Ответ: $y = ex$

б) $y = e^x, \ a = 2$

Значение функции:
$y(2) = e^2$

Значение производной:
$y'(x) = (e^x)’ = e^x$
$y'(2) = e^2$

Уравнение касательной:
$y = y(a) + y'(a)(x — a)$
$y = e^2 + e^2 \cdot (x — 2) = e^2 + e^2x — 2e^2 = e^2x — e^2$

Ответ: $y = e^2x — e^2$

в) $y = e^x, \ a = 0$

Значение функции:
$y(0) = e^0 = 1$

Значение производной:
$y'(x) = (e^x)’ = e^x$
$y'(0) = e^0 = 1$

Уравнение касательной:
$y = y(a) + y'(a)(x — a)$
$y = 1 + 1 \cdot (x — 0) = 1 + x = x + 1$

Ответ: $y = x + 1$

г) $y = e^x, \ a = -1$

Значение функции:
$y(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$

Значение производной:
$y'(x) = (e^x)’ = e^x$
$y'(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$

Уравнение касательной:
$y = y(a) + y'(a)(x — a)$
$y = \frac{1}{e} + \frac{1}{e} \cdot (x + 1) = \frac{1}{e} + \frac{x}{e} + \frac{1}{e} = \frac{x}{e} + \frac{2}{e}$

Ответ: $y = \frac{x}{e} + \frac{2}{e}$

Формула касательной:

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = a$:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Где:

• $f(a)$ — значение функции в точке касания
• $f'(a)$ — значение производной функции (угловой коэффициент касательной)
• $a$ — абсцисса точки касания

а) $y = e^x$, $a = 1$

Шаг 1. Найдём значение функции в точке $x = 1$:

$$f(1) = e^1 = e$$

Шаг 2. Найдём производную функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$$

Шаг 3. Найдём значение производной в точке $x = 1$:

$$f'(1) = e^1 = e$$

Шаг 4. Подставим в уравнение касательной:

$$y = f(1) + f'(1)(x — 1) = e + e(x — 1)$$

Шаг 5. Упростим выражение:

$$y = e + ex — e = ex$$

Ответ: $\boxed{y = ex}$

б) $y = e^x$, $a = 2$

Шаг 1. Значение функции в точке $x = 2$:

$$f(2) = e^2$$

Шаг 2. Производная функции:

$$f'(x) = e^x$$

Шаг 3. Значение производной в точке $x = 2$:

$$f'(2) = e^2$$

Шаг 4. Уравнение касательной:

$$y = f(2) + f'(2)(x — 2) = e^2 + e^2(x — 2)$$

Шаг 5. Упрощаем:

$$y = e^2 + e^2x — 2e^2 = e^2x — e^2$$

Ответ: $\boxed{y = e^2x — e^2}$

в) $y = e^x$, $a = 0$

Шаг 1. Значение функции в точке $x = 0$:

$$f(0) = e^0 = 1$$

Шаг 2. Производная функции:

$$f'(x) = e^x$$

Шаг 3. Значение производной в точке $x = 0$:

$$f'(0) = e^0 = 1$$

Шаг 4. Уравнение касательной:

$$y = f(0) + f'(0)(x — 0) = 1 + 1(x — 0)$$

Шаг 5. Упрощаем:

$$y = 1 + x$$

Ответ: $\boxed{y = x + 1}$

г) $y = e^x$, $a = -1$

Шаг 1. Значение функции в точке $x = -1$:

$$f(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$$

Шаг 2. Производная функции:

$$f'(x) = e^x$$

Шаг 3. Значение производной в точке $x = -1$:

$$f'(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$$

Шаг 4. Уравнение касательной:

$$y = f(-1) + f'(-1)(x + 1) = \frac{1}{e} + \frac{1}{e}(x + 1)$$

Шаг 5. Раскроем скобки:

$$y = \frac{1}{e} + \frac{x}{e} + \frac{1}{e}$$

Шаг 6. Приведём подобные:

$$y = \frac{x}{e} + \frac{2}{e}$$

Ответ: $\boxed{y = \frac{x}{e} + \frac{2}{e}}$

Итоги:

а) $y = ex$

б) $y = e^2x — e^2$

в) $y = x + 1$

г) $y = \dfrac{x}{e} + \dfrac{2}{e}$