ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

а) $y = x^2 e^x$;

б) $y = x e^{2x-4}$;

в) $y = x^3 e^x$;

г) $y = \frac{e^x}{x}$

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:

а) $y = x^2 e^x$;
$y'(x) = (x^2)’ \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)’ = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = xe^x(2 + x)$;

Промежуток возрастания:
$xe^x(2 + x) \geq 0$;
$(x + 2)x \geq 0$;
$x \leq -2$ или $x \geq 0$;

Ответ: возрастает на $(-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$ и убывает на $[-2; 0]$;
$x = 0$ — точка минимума;
$x = -2$ — точка максимума.

б) $y = x e^{2x-4}$;
$y'(x) = (x)’ \cdot e^{2x-4} + x \cdot (e^{2x-4})’$;
$y'(x) = 1 \cdot e^{2x-4} + x \cdot 2e^{2x-4} = e^{2x-4} \cdot (1 + 2x)$;

Промежуток возрастания:
$e^{2x-4} \cdot (1 + 2x) \geq 0$;
$1 + 2x \geq 0$;
$2x \geq -1$;
$x \geq -0,5$;

Ответ: возрастает на $[-0,5; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; -0,5]$;
$x = -0,5$ — точка минимума.

в) $y = x^3 e^x$;
$y'(x) = (x^3)’ \cdot e^x + x^3 \cdot (e^x)’ = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x = x^2 e^x(3 + x)$;

Промежуток возрастания:
$x^2 e^x(3 + x) \geq 0$;
$3 + x \geq 0$;
$x \geq -3$;

Ответ: возрастает на $[-3; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; -3]$;
$x = -3$ — точка минимума.

г) $y = \frac{e^x}{x}$;
$y'(x) = \frac{(e^x)’ \cdot x — e^x \cdot (x)’}{x^2} = \frac{e^x \cdot x — e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x — 1)}{x^2}$;

Промежуток возрастания:
$\frac{e^x(x — 1)}{x^2} \geq 0$;
$x — 1 \geq 0$;
$x \geq 1$;

Выражение имеет смысл при:
$x \ne 0$;

Ответ: возрастает на $[1; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; 1]$;
$x = 1$ — точка минимума.

а) $y = x^2 e^x$

Найдём производную функции:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 e^x)$$

Это произведение двух функций: $x^2$ и $e^x$. Применим правило производной произведения:

$$(fg)’ = f’ g + f g’$$

где:
$f = x^2$, тогда $f’ = 2x$
$g = e^x$, тогда $g’ = e^x$

Подставим:

$$y'(x) = (x^2)’ \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)’ = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$$

Вынесем общий множитель $e^x$:

$$y'(x) = e^x (2x + x^2) = e^x \cdot x (2 + x)$$

Окончательно:

$$y'(x) = x e^x (2 + x)$$

Исследуем знак производной:
Рассмотрим неравенство:

$$x e^x (2 + x) \geq 0$$

1. $e^x > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, значит знак производной определяется выражением $x(2 + x)$
2. Решим неравенство:

$$x(2 + x) \geq 0$$

или

$$(x + 2)x \geq 0$$

Это квадратное неравенство. Найдём нули функции:

$$x = 0, \quad x = -2$$

Построим числовую прямую с точками $-2$ и $0$, определим знаки выражения на интервалах:

• На интервале $(-\infty, -2)$:
  $x < -2$, $x + 2 < 0$ → произведение $< 0$
• На интервале $(-2, 0)$:
  $x < 0$, $x + 2 > 0$ → произведение $< 0$
• На интервале $(0, +\infty)$:
  $x > 0$, $x + 2 > 0$ → произведение $> 0$

В точках $x = -2$ и $x = 0$ произведение равно нулю:

$$(x + 2)x = 0$$

Следовательно:

• Производная $y'(x) \geq 0$ при $x \leq -2$ и $x \geq 0$
• Производная $y'(x) \leq 0$ при $-2 \leq x \leq 0$

Вывод:
Функция возрастает на промежутках:

$$(-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$$

Функция убывает на промежутке:

$$[-2; 0]$$

Найдём экстремумы:

1. При переходе через точку $x = -2$ производная меняет знак с положительного на отрицательный → это точка максимума
2. При переходе через точку $x = 0$ производная меняет знак с отрицательного на положительный → это точка минимума

Ответ:
Возрастает на $(-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$
Убывает на $[-2; 0]$
$x = 0$ — точка минимума
$x = -2$ — точка максимума

б) $y = x e^{2x — 4}$

Находим производную:
Функция — произведение двух множителей: $x$ и $e^{2x — 4}$
Применим правило производной произведения:

$$y'(x) = (x)’ \cdot e^{2x — 4} + x \cdot (e^{2x — 4})’$$

1. $(x)’ = 1$
2. $(e^{2x — 4})’ = e^{2x — 4} \cdot (2x — 4)’ = e^{2x — 4} \cdot 2$

Подставим:

$$y'(x) = 1 \cdot e^{2x — 4} + x \cdot 2 e^{2x — 4} = e^{2x — 4}(1 + 2x)$$

Исследуем знак производной:

$$y'(x) = e^{2x — 4}(1 + 2x) \geq 0$$

Поскольку $e^{2x — 4} > 0$ для всех $x$, то знак производной определяется выражением $1 + 2x$

Решим неравенство:

$$1 + 2x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 2x \geq -1 \quad \Rightarrow \quad x \geq -0.5$$

Вывод:
Функция возрастает на $[-0{,}5; +\infty)$
Убывает на $(-\infty; -0{,}5]$

Найдём экстремум:
В точке $x = -0{,}5$ производная меняет знак с отрицательного на положительный → это точка минимума

Ответ:
Возрастает на $[-0{,}5; +\infty)$
Убывает на $(-\infty; -0{,}5]$
$x = -0{,}5$ — точка минимума

в) $y = x^3 e^x$

Находим производную:

$$y'(x) = (x^3)’ \cdot e^x + x^3 \cdot (e^x)’ = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x$$

Вынесем общий множитель $x^2 e^x$:

$$y'(x) = x^2 e^x (3 + x)$$

Исследуем знак производной:

$$y'(x) = x^2 e^x (3 + x) \geq 0$$

Анализ выражения:

• $x^2 \geq 0$ всегда
• $e^x > 0$ всегда
• знак зависит от $(3 + x)$

Решим:

$$3 + x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -3$$

Вывод:
Функция возрастает на $[-3; +\infty)$
Убывает на $(-\infty; -3]$

Экстремум:
В точке $x = -3$ производная меняет знак с отрицательного на положительный → точка минимума

Ответ:
Возрастает на $[-3; +\infty)$
Убывает на $(-\infty; -3]$
$x = -3$ — точка минимума

г) $y = \frac{e^x}{x}$

Находим производную по правилу дроби:

$$y'(x) = \frac{(e^x)’ \cdot x — e^x \cdot (x)’}{x^2} = \frac{e^x \cdot x — e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x — 1)}{x^2}$$

Область определения:
Деление на 0 невозможно → $x \ne 0$

Исследуем знак производной:

$$y'(x) = \frac{e^x(x — 1)}{x^2} \geq 0$$

Анализ выражения:

• $e^x > 0$
• $x^2 > 0$ при $x \ne 0$
  → знак определяется числителем $x — 1$

Решим:

$$x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1$$

Вывод:
Функция возрастает на $[1; +\infty)$
Убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; 1]$

Экстремум:
В точке $x = 1$ производная меняет знак с отрицательного на положительный → точка минимума

Ответ:
Возрастает на $[1; +\infty)$
Убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; 1]$
$x = 1$ — точка минимума