ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = \ln(x — 4)$

б) $y=\ln ex$

в) $y = \ln(x + 3)$

г) $y = \ln \frac{x}{e} = \ln x — \ln e = \ln x — 1$

Построить график функции:

а) $y = \ln(x — 4)$;

Построим график функции $y = \ln x$;

Переместим его на 4 единицы вправо:

б) $y = \ln ex = \ln x + \ln e = \ln x + 1$;

Построим график функции $y = \ln x$;

Переместим его на 1 единицу вверх:

в) $y = \ln(x + 3)$;

Построим график функции $y = \ln x$;

Переместим его на 3 единицы влево:

г) $y = \ln \frac{x}{e} = \ln x — \ln e = \ln x — 1$;

Построим график функции $y = \ln x$;

Переместим его на 1 единицу вниз:

а) $y = \ln(x — 4)$

1. Базовая функция:

$$y = \ln x$$

— область определения: $x > 0$
— вертикальная асимптота: $x = 0$
— график проходит через точку $(1, 0)$, возрастает и стремится к $-\infty$ при $x \to 0^+$, к $+\infty$ при $x \to +\infty$

2. Преобразование:

В выражении $\ln(x — 4)$, вместо $x$ теперь стоит $x — 4$ — это горизонтальный сдвиг.

Правило:

$$y = \ln(x — a) \Rightarrow \text{сдвиг графика на } a \text{ единиц вправо}$$

Значит:

• График $y = \ln x$ сдвигается на 4 единицы вправо
• Новая область определения: $x — 4 > 0 \Rightarrow x > 4$
• Новая асимптота: $x = 4$
• Точка $(1, 0)$ → $(5, 0)$
• Все другие точки также смещаются на 4 единицы по оси X

Вывод:

График функции $y = \ln(x — 4)$ получается из графика $y = \ln x$ путём сдвига на 4 единицы вправо.
Область определения: $x > 4$, вертикальная асимптота — прямая $x = 4$

б) $y = \ln(ex) = \ln x + \ln e = \ln x + 1$

1. Преобразование логарифма:

Используем свойство:

$$\ln(ab) = \ln a + \ln b$$

Значит:

$$y = \ln(ex) = \ln x + \ln e = \ln x + 1$$

Это вертикальный сдвиг вверх на 1 единицу.

2. Построение:

График $y = \ln x + 1$ получается путём подъёма графика $y = \ln x$ на 1 единицу вверх:

• Каждая точка $(x, y)$ преобразуется в $(x, y + 1)$
• Область определения: не меняется, по-прежнему $x > 0$
• Асимптота: остаётся $x = 0$

Примеры точек:

• $x = 1 \Rightarrow y = \ln 1 = 0$, теперь: $y = 1$
• $x = e \Rightarrow y = \ln e = 1$, теперь: $y = 2$

Вывод:

График функции $y = \ln(ex)$ — это график $y = \ln x$, сдвинутый на 1 единицу вверх.
Область определения: $x > 0$, асимптота: $x = 0$

в) $y = \ln(x + 3)$

1. Структура:

$$y = \ln(x + 3)$$

Это горизонтальный сдвиг влево на 3 единицы.
Правило:

$$y = \ln(x + a) \Rightarrow \text{сдвиг на } a \text{ единиц влево}$$

2. Преобразование графика $y = \ln x$:

• Сдвигаем график влево на 3 единицы
• Новая область определения: $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$
• Новая асимптота: $x = -3$
• Точка $(1, 0)$ → $(-2, 0)$

Вывод:

График функции $y = \ln(x + 3)$ — это график $y = \ln x$, сдвинутый на 3 единицы влево.
Область определения: $x > -3$, асимптота: $x = -3$

г) $y = \ln\left(\frac{x}{e}\right) = \ln x — \ln e = \ln x — 1$

1. Преобразование логарифма:

Используем свойство:

$$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a — \ln b$$ $$y = \ln\left(\frac{x}{e}\right) = \ln x — \ln e = \ln x — 1$$

Это вертикальный сдвиг вниз на 1 единицу.

2. Построение:

• Каждая точка $(x, y)$ превращается в $(x, y — 1)$
• Область определения: остаётся $x > 0$
• Асимптота: по-прежнему $x = 0$

Примеры точек:

• $x = 1 \Rightarrow y = \ln 1 = 0$, теперь: $y = -1$
• $x = e \Rightarrow y = \ln e = 1$, теперь: $y = 0$

Вывод:

График функции $y = \ln\left(\frac{x}{e}\right)$ — это график $y = \ln x$, сдвинутый вниз на 1 единицу.
Область определения: $x > 0$, асимптота: $x = 0$