ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение производной заданной функции в указанной точке:

а) $y = \ln x + x, \quad x_0 = \frac{1}{7}$;

б) $y = x^3 \cdot \ln x, \quad x_0 = e$;

в) $y = x^2 — \ln x, \quad x_0 = 0,5$;

г) $y = \frac{\ln x}{x}, \quad x_0 = 1$

Найти значение производной функции в точке с абсциссой $x_0$:

а) $y = \ln x + x, \quad x_0 = \frac{1}{7}$;
$y'(x) = (\ln x)’ + (x)’ = \frac{1}{x} + 1$;
$y’\left( \frac{1}{7} \right) = 1 : \frac{1}{7} + 1 = 7 + 1 = 8$;
Ответ: 8.

б) $y = x^3 \cdot \ln x, \quad x_0 = e$;
$y'(x) = (x^3)’ \cdot \ln x + x^3 \cdot (\ln x)’ = 3x^2 \cdot \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x}$;
$y'(x) = 3x^2 \cdot \ln x + x^2 = x^2 \cdot (3\ln x + 1)$;
$y'(e) = e^2 \cdot (3\ln e + 1) = e^2 \cdot (3 \cdot 1 + 1) = 4e^2$;
Ответ: $4e^2$.

в) $y = x^2 — \ln x, \quad x_0 = 0,5$;
$y'(x) = (x^2)’ — (\ln x)’ = 2x — \frac{1}{x}$;
$y'(0,5) = 2 \cdot 0,5 — \frac{1}{0,5} = 1 — \frac{10}{5} = 1 — 2 = -1$;
Ответ: -1.

г) $y = \frac{\ln x}{x}, \quad x_0 = 1$;
$y'(x) = \frac{(\ln x)’ \cdot x — \ln x \cdot (x)’}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x — \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 — \ln x}{x^2}$;
$y'(1) = \frac{1 — \ln 1}{1^2} = \frac{1 — 0}{1} = \frac{1}{1} = 1$;
Ответ: 1.

а) $y = \ln x + x, \quad x_0 = \frac{1}{7}$

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция состоит из суммы двух слагаемых:

• $(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}$
• $(x)’ = 1$

Применим правило линейности производной:

$$y'(x) = \frac{1}{x} + 1$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = \frac{1}{7}$

$$y’\left( \frac{1}{7} \right) = \frac{1}{\frac{1}{7}} + 1 = 7 + 1 = 8$$

Ответ (а):

$$\boxed{8}$$

б) $y = x^3 \cdot \ln x, \quad x_0 = e$

Шаг 1: Применим правило производной произведения

Функция задана как произведение:

• $u(x) = x^3$, тогда $u'(x) = 3x^2$
• $v(x) = \ln x$, тогда $v'(x) = \frac{1}{x}$

По формуле:

$$(uv)’ = u’v + uv’$$

Подставим:

$$y'(x) = 3x^2 \cdot \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x}$$

Упростим второе слагаемое:

$$x^3 \cdot \frac{1}{x} = x^2$$

Итак:

$$y'(x) = 3x^2 \cdot \ln x + x^2 = x^2 (3 \ln x + 1)$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = e$

• $\ln e = 1$
• $x^2 = e^2$

$$y'(e) = e^2 (3 \cdot 1 + 1) = e^2 \cdot 4 = 4e^2$$

Ответ (б):

$$\boxed{4e^2}$$

в) $y = x^2 — \ln x, \quad x_0 = 0{,}5$

Шаг 1: Найдём производную

$$y'(x) = (x^2)’ — (\ln x)’ = 2x — \frac{1}{x}$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = 0{,}5$

Вычислим каждое слагаемое:

• $2x = 2 \cdot 0.5 = 1$
• $\frac{1}{x} = \frac{1}{0.5} = 2$

$$y'(0.5) = 1 — 2 = -1$$

Ответ (в):

$$\boxed{-1}$$

г) $y = \dfrac{\ln x}{x}, \quad x_0 = 1$

Шаг 1: Применим правило производной дроби

Пусть:

• $u(x) = \ln x$, тогда $u'(x) = \frac{1}{x}$
• $v(x) = x$, тогда $v'(x) = 1$

Формула:

$$\left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

Подставим:

$$y'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x — \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 — \ln x}{x^2}$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = 1$

• $\ln 1 = 0$
• $x^2 = 1^2 = 1$

$$y'(1) = \frac{1 — 0}{1} = 1$$

Ответ (г):

$$\boxed{1}$$