ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x — \ln x$ на заданном отрезке:

а) $\left[\frac{1}{e}; e\right]$:

б) $[e; e^2]$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = x — \ln x$;

Производная функции:
$y'(x) = (x)’ — (\ln x)’ = 1 — \frac{1}{x}$;

Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;

Промежуток возрастания:
$1 — \frac{1}{x} \geq 0 \quad | \cdot x;$
$x — 1 \geq 0;$
$x \geq 1;$

Точка экстремума:
$x = 1;$

а) На отрезке $\left[\frac{1}{e}; e\right]$:
$y\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} — \ln \frac{1}{e} = \frac{1}{e} — \ln e^{-1} = \frac{1}{e} + \ln e = \frac{1}{e} + 1;$
$y(1) = 1 — \ln 1 = 1 — 0 = 1;$
$y(e) = e — \ln e = e — 1;$

Ответ: $1; \, e — 1$.

б) На отрезке $[e; e^2]$:
$y(e) = e — \ln e = e — 1;$
$y(e^2) = e^2 — \ln e^2 = e^2 — 2 \ln e = e^2 — 2 \cdot 1 = e^2 — 2;$

Ответ: $e — 1; \, e^2 — 2$.

Функция:

$$y = x — \ln x$$

Шаг 1: Найдём область определения

Функция содержит логарифм $\ln x$, который определён только при $x > 0$.
Следовательно, область определения:

$$D(y) = (0; +\infty)$$

Шаг 2: Найдём производную функции

$$y(x) = x — \ln x$$

Продифференцируем по правилу:

• $(x)’ = 1$
• $(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}$

Получаем:

$$y'(x) = 1 — \frac{1}{x}$$

Шаг 3: Найдём критические точки

Для нахождения экстремумов, приравниваем производную к нулю:

$$1 — \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x = 1$$

Это единственная критическая точка на всём множестве $x > 0$

Шаг 4: Исследуем знак производной

• При $x < 1 \Rightarrow \frac{1}{x} > 1 \Rightarrow y'(x) < 0$ — функция убывает
• При $x > 1 \Rightarrow \frac{1}{x} < 1 \Rightarrow y'(x) > 0$ — функция возрастает

Значит, в точке $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс → это точка минимума.

а) На отрезке $\left[ \dfrac{1}{e}; \, e \right]$

Шаг 5: Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке

Левый конец:

$$y\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} — \ln\left(\frac{1}{e}\right)$$

Преобразуем логарифм:

$$\ln\left(\frac{1}{e}\right) = \ln(e^{-1}) = -\ln e = -1$$ $$y\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} — (-1) = \frac{1}{e} + 1$$

Критическая точка $x = 1$:

$$y(1) = 1 — \ln 1 = 1 — 0 = 1$$

Правый конец $x = e$:

$$y(e) = e — \ln e = e — 1$$

Шаг 6: Сравним значения

• $y\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} + 1 \approx 0.3679 + 1 = 1.3679$
• $y(1) = 1$
• $y(e) = e — 1 \approx 2.718 — 1 = 1.718$

Наименьшее значение: $y = 1$ при $x = 1$
Наибольшее значение: $y = e — 1$ при $x = e$

Ответ (а):

$$\boxed{1; \quad e — 1}$$

б) На отрезке $\left[e; \, e^2\right]$

Шаг 7: Проверим границы отрезка

На всём отрезке $[e; e^2] \subset (1; +\infty)$, а мы уже знаем, что:

• При $x > 1$ функция возрастает
• Значит, наименьшее значение — в начале отрезка
• Наибольшее — в конце отрезка

Шаг 8: Вычислим значения на концах отрезка

Левый конец $x = e$:

$$y(e) = e — \ln e = e — 1$$

Правый конец $x = e^2$:

$$y(e^2) = e^2 — \ln e^2$$

Преобразуем логарифм:

$$\ln e^2 = 2 \ln e = 2 \cdot 1 = 2$$ $$y(e^2) = e^2 — 2$$

Шаг 9: Сравним значения

• $y(e) = e — 1 \approx 2.718 — 1 = 1.718$
• $y(e^2) = e^2 — 2 \approx (7.389) — 2 = 5.389$

Ответ (б):

$$\boxed{e — 1; \quad e^2 — 2}$$

Финальные ответы:

а) $\boxed{1; \quad e — 1}$
б) $\boxed{e — 1; \quad e^2 — 2}$