ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке:

а) $y = x + \ln(-x)$ на отрезке $[-4; -0{,}5]$;

б) $y = x + e^{-x}$ на отрезке $[- \ln 4; \ln 2]$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = x + \ln(-x)$ на отрезке $[-4; -0{,}5]$;
$y'(x) = (x)’ + (\ln(-x))’ = 1 — 1 \cdot \frac{1}{-x} = 1 + \frac{1}{x};$

Выражение имеет смысл при:
$-x > 0;$
$x < 0;$

Промежуток возрастания:
$1 + \frac{1}{x} \geq 0 \quad | \cdot x;$
$x + 1 \geq 0;$
$x \geq -1;$

Значения функции:
$y(-4) = -4 + \ln 4 = \ln 4 — 4;$
$y(-1) = -1 + \ln 1 = -1 + 0 = -1;$
$y(-0{,}5) = -0{,}5 + \ln 0{,}5 = \ln 0{,}5 — 0{,}5;$

Ответ: $\ln 4 — 4; \ -1$.

б) $y = x + e^{-x}$ на отрезке $[- \ln 4; \ln 2]$;
$y'(x) = (x)’ + (e^{-x})’ = 1 — e^{-x};$

Промежуток возрастания:
$1 — e^{-x} \geq 0;$
$e^{-x} \leq 1;$
$-x \leq 0;$
$x \geq 0;$

Значения функции:
$y(-\ln 4) = -\ln 4 + e^{\ln 4} = 4 — \ln 4;$
$y(0) = 0 + e^{0} = e^{0} = 1;$
$y(\ln 2) = \ln 2 + e^{-\ln 2} = \ln 2 + \frac{1}{e^{\ln 2}} = \ln 2 + \frac{1}{2};$

Ответ: $1; \ 4 — \ln 4$.

а) $y = x + \ln(-x)$ на отрезке $[-4;\ -0{,}5]$

Шаг 1: Найдём область определения

Функция содержит логарифм от выражения $-x$, то есть:

$$\ln(-x) \text{ определён только при } -x > 0 \Rightarrow x < 0$$

Значит, функция определена на всём отрезке $[-4;\ -0{,}5]$, так как все его значения меньше нуля.

Шаг 2: Найдём производную функции

$$y(x) = x + \ln(-x)$$

Найдём производную по правилу:

• $(x)’ = 1$
• $(\ln(-x))’ = \dfrac{1}{-x} \cdot (-1) = \dfrac{1}{x}$

Итого:

$$y'(x) = 1 + \frac{1}{x}$$

Шаг 3: Найдём критические точки

Найдём, где производная равна нулю:

$$1 + \frac{1}{x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x} = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -1$$

Проверим, входит ли точка $x = -1$ в отрезок $[-4;\ -0{,}5]$. Да, входит.

Шаг 4: Исследуем знак производной

Рассмотрим производную:

$$y'(x) = 1 + \frac{1}{x}$$

Промежутки:

• При $x < -1 \Rightarrow \frac{1}{x} > -1 \Rightarrow y'(x) > 0$ → функция возрастает
• При $x > -1 \Rightarrow \frac{1}{x} < -1 \Rightarrow y'(x) < 0$ → функция убывает

Следовательно, в точке $x = -1$ — максимум.

Шаг 5: Найдём значения функции на концах отрезка и в критической точке

$x = -4$:

$$y(-4) = -4 + \ln 4 = \ln 4 — 4$$

$x = -1$:

$$y(-1) = -1 + \ln 1 = -1 + 0 = -1$$

$x = -0{,}5$:

$$y(-0{,}5) = -0{,}5 + \ln 0{,}5 = \ln 0{,}5 — 0{,}5$$

Дополнительно:

$$\ln 4 \approx 1.386, \quad \ln 0{,}5 \approx -0.693$$

Приблизительно:

• $y(-4) \approx 1.386 — 4 = -2.614$
• $y(-1) = -1$
• $y(-0{,}5) \approx -0.693 — 0.5 = -1.193$

Шаг 6: Сравнение значений

• Наименьшее значение: $y(-4) = \ln 4 — 4$
• Наибольшее значение: $y(-1) = -1$

Ответ (а):

$$\boxed{ \ln 4 — 4;\quad -1 }$$

б) $y = x + e^{-x}$ на отрезке $[-\ln 4;\ \ln 2]$

Шаг 1: Найдём область определения

Функция $y = x + e^{-x}$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$, так как:

• $x$ — всюду определена
• $e^{-x}$ — всюду определена

Отрезок $[-\ln 4;\ \ln 2] \subset \mathbb{R}$, значит — всё в порядке.

Шаг 2: Найдём производную функции

$$y(x) = x + e^{-x}$$

Продифференцируем:

• $(x)’ = 1$
• $(e^{-x})’ = -e^{-x}$

Итого:

$$y'(x) = 1 — e^{-x}$$

Шаг 3: Найдём критические точки

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 1-e^{-x}=0\Rightarrow e^{-x}=1\Rightarrow$$

$$y'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 — e^{-x} = 0 \quad \Rightarrow \quad e^{-x} = 1 \quad \Rightarrow \quad -x = \ln 1 = 0 \Rightarrow x = 0$$

Проверим, входит ли $x = 0$ в отрезок $[-\ln 4; \ln 2]$:

$$\ln 4 \approx 1.386 \Rightarrow -\ln 4 \approx -1.386, \quad \ln 2 \approx 0.693$$

Значит, $x = 0 \in [-\ln 4; \ln 2]$

Шаг 4: Исследуем знак производной

$$y'(x) = 1 — e^{-x}$$

• При $x < 0 \Rightarrow e^{-x} > 1 \Rightarrow y'(x) < 0$ → функция убывает
• При $x > 0 \Rightarrow e^{-x} < 1 \Rightarrow y'(x) > 0$ → функция возрастает

Следовательно, $x = 0$ — точка минимума

Шаг 5: Найдём значения функции в ключевых точках

$x = -\ln 4$:

$$y(-\ln 4) = -\ln 4 + e^{\ln 4} = -\ln 4 + 4 = 4 — \ln 4$$

$x = 0$:

$$y(0) = 0 + e^0 = 1$$

$x = \ln 2$:

$$y(\ln 2) = \ln 2 + e^{-\ln 2} = \ln 2 + \frac{1}{e^{\ln 2}} = \ln 2 + \frac{1}{2}$$

Приблизительно:

• $\ln 4 \approx 1.386 \Rightarrow y(-\ln 4) \approx 4 — 1.386 = 2.614$
• $y(0) = 1$
• $\ln 2 \approx 0.693 \Rightarrow y(\ln 2) \approx 0.693 + 0.5 = 1.193$

Шаг 6: Сравнение значений

• Минимум: $y(0) = 1$
• Максимум: $y(-\ln 4) = 4 — \ln 4$

Ответ (б):

$$\boxed{ 1;\quad 4 — \ln 4 }$$