ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Напишите уравнение той касательной к графику функции у = f(x), которая параллельна данной прямой у = kx + m:

a) $f(x) = e^{2x}$, $y = 2ex — 5$;

б) $f(x) = \ln(3x + 2)$, $y = x + 7$

Написать уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, которая параллельна данной прямой $y = kx + m$;

a) $f(x) = e^{2x}$, $y = 2ex — 5$;

Угловой коэффициент касательной:
$k(x) = (e^{2x})’ = 2e^{2x}$, $k(a) = 2e$;

Абсцисса точки касания:
$k(a) = 2e^{2a} = 2e$;
$e^{2a} = e$;
$2a = 1$;
$a = 0{,}5$;

Значение функции:
$f(0) = e^{2 \cdot 0{,}5} = e^1 = e$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = e + 2e \cdot (x — 0{,}5) = e + 2ex — e = 2ex$;

Ответ: $y = 2ex$.

б) $f(x) = \ln(3x + 2)$, $y = x + 7$;

Угловой коэффициент касательной:
$k(x) = (\ln(3x + 2))’ = \frac{3}{3x + 2}$, $k(a) = 1$;

Абсцисса точки касания:
$k(a) = \frac{3}{3a + 2} = 1$;
$3 = 3a + 2$;
$3a = 1$;
$a = \frac{1}{3}$;

Значение функции:
$f\left(\frac{1}{3}\right) = \ln\left(3 \cdot \frac{1}{3} + 2\right) = \ln(1 + 2) = \ln 3$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = \ln 3 + 1 \cdot \left(x — \frac{1}{3}\right) = x — \frac{1}{3} + \ln 3$;

Ответ: $y = x — \frac{1}{3} + \ln 3$.

а) $f(x) = e^{2x}$, прямая: $y = 2ex — 5$

Цель: найти уравнение касательной к графику функции, параллельной данной прямой.

Шаг 1: Определим угловой коэффициент касательной

Если касательная параллельна прямой $y = 2ex — 5$, то её угловой коэффициент такой же, как у этой прямой:

$$k = 2e$$

Шаг 2: Найдём производную функции $f(x) = e^{2x}$

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{2x} \right) = 2e^{2x}$$

Шаг 3: Найдём точку, в которой производная равна $2e$

Для касательной быть параллельной заданной прямой, необходимо, чтобы производная функции в точке касания равнялась $2e$:

$$f'(a) = 2e^{2a} = 2e$$

Разделим обе части на 2:

$$e^{2a} = e$$

Применим логарифм по основанию $e$:

$$2a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Найдём значение функции в точке $x = \frac{1}{2}$

$$f\left( \frac{1}{2} \right) = e^{2 \cdot \frac{1}{2}} = e^1 = e$$

Шаг 5: Запишем уравнение касательной

Общий вид уравнения касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим:

• $f(a) = e$
• $f'(a) = 2e$
• $a = \frac{1}{2}$

$$y = e + 2e(x — \frac{1}{2}) = e + 2ex — e = 2ex$$

Ответ:

$$y = 2ex$$

б) $f(x) = \ln(3x + 2)$, прямая: $y = x + 7$

Цель: найти уравнение касательной к графику функции, параллельной данной прямой.

Шаг 1: Определим угловой коэффициент касательной

Прямая имеет вид $y = x + 7$, её угловой коэффициент равен:

$$k = 1$$

Значит, ищем такую точку $x = a$, в которой производная функции равна 1.

Шаг 2: Найдём производную функции $f(x) = \ln(3x + 2)$

Используем правило цепочки:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(3x + 2) = \frac{1}{3x + 2} \cdot 3 = \frac{3}{3x + 2}$$

Шаг 3: Приравниваем производную к 1 и находим точку касания

$$f'(a) = \frac{3}{3a + 2} = 1$$

Решаем уравнение:

$$\frac{3}{3a + 2} = 1 \quad \Rightarrow \quad 3 = 3a + 2 \quad \Rightarrow \quad 3a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{3}$$

Шаг 4: Найдём значение функции в точке $x = \frac{1}{3}$

$$f\left( \frac{1}{3} \right) = \ln(3 \cdot \frac{1}{3} + 2) = \ln(1 + 2) = \ln 3$$

Шаг 5: Запишем уравнение касательной

Общий вид:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим:

• $f(a) = \ln 3$
• $f'(a) = 1$
• $a = \frac{1}{3}$

$$y = \ln 3 + 1 \cdot (x — \frac{1}{3}) = \ln 3 + x — \frac{1}{3}$$ $$y = x — \frac{1}{3} + \ln 3$$

Ответ:

$$y = x — \frac{1}{3} + \ln 3$$