ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Проведите касательную к графику заданной функции так, чтобы она проходила через начало координат:

а) $y = e^{\frac{x}{2}}$;

б) $y = \ln x$;

в) $y = e^{\frac{x}{3}}$;

г) $y = \ln x^3$

Переписываю точно, без изменений:

Провести касательную к графику заданной функции так, чтобы она проходила через начало координат:

а) $y = e^{\frac{x}{2}}$;

Значение функции:
$f(a) = e^{\frac{a}{2}}$;

Значение производной:
$f'(a) = \left(e^{\frac{a}{2}}\right)’ = \frac{1}{2}e^{\frac{a}{2}} = 0{,}5e^{\frac{a}{2}}$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = e^{\frac{a}{2}} + 0{,}5e^{\frac{a}{2}} \cdot (x — a) = 0{,}5xe^{\frac{a}{2}} + e^{\frac{a}{2}} — 0{,}5ae^{\frac{a}{2}}$;

Значение параметра $a$:
$m = e^{\frac{a}{2}} — 0{,}5ae^{\frac{a}{2}} = 0$;
$e^{\frac{a}{2}} \cdot (1 — 0{,}5a) = 0$;
$1 — 0{,}5a = 0$;
$0{,}5a = 1$;
$a = 2$;
$y = 0{,}5xe^{\frac{2}{2}} + e^{\frac{2}{2}} — 0{,}5 \cdot 2e^{\frac{2}{2}} = 0{,}5xe^1 + 0 = \frac{e}{2}x$;

Ответ: $y = \frac{e}{2}x$.

б) $y = \ln x$;

Значение функции:
$f(a) = \ln a$;

Значение производной:
$f'(a) = (\ln a)’ = \frac{1}{a}$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = \ln a + \frac{1}{a} \cdot (x — a) = \frac{1}{a}x + \ln a — 1$;

Значение параметра $a$:
$m = \ln a — 1 = 0$;
$\ln a = 1$;
$a = e$;
$y = \frac{1}{e}x + \ln e — 1 = \frac{1}{e}x + 0 = \frac{1}{e}x$;

Ответ: $y = \frac{1}{e}x$.

в) $y = e^{\frac{x}{3}}$;

Значение функции:
$f(a) = e^{\frac{a}{3}}$;

Значение производной:
$f'(a) = \left(e^{\frac{a}{3}}\right)’ = \frac{1}{3}e^{\frac{a}{3}}$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = e^{\frac{a}{3}} + \frac{1}{3}e^{\frac{a}{3}} \cdot (x — a) = \frac{1}{3}e^{\frac{a}{3}}x + e^{\frac{a}{3}} — \frac{1}{3}ae^{\frac{a}{3}}$;

Значение параметра $a$:
$m = e^{\frac{a}{3}} — \frac{1}{3}ae^{\frac{a}{3}} = 0$;
$e^{\frac{a}{3}} \cdot \left(1 — \frac{1}{3}a\right) = 0$;
$1 — \frac{1}{3}a = 0$;
$\frac{1}{3}a = 1$;
$a = 3$;
$y = \frac{1}{3}e^{\frac{3}{3}}x + e^{\frac{3}{3}} — \frac{1}{3} \cdot 3e^{\frac{3}{3}} = \frac{1}{3}e^1x + 0 = \frac{e}{3}x$;

Ответ: $y = \frac{e}{3}x$.

г) $y = \ln x^3$;

Значение функции:
$f(a) = \ln a^3 = 3\ln a$;

Значение производной:
$f'(a) = 3(\ln a)’ = 3 \cdot \frac{1}{a} = \frac{3}{a}$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = 3\ln a + \frac{3}{a} \cdot (x — a) = \frac{3}{a}x + 3\ln a — 3$;

Значение параметра $a$:
$m = \frac{3}{a}x + 3\ln a — 3 = 0$;
$3\ln a — 3 = 0$;
$\ln a — 1 = 0$;
$\ln a = 1$;
$a = e$;
$y = \frac{3}{e}x + 3\ln e — 3 = \frac{3}{e}x + 0 = \frac{3}{e}x$;

Ответ: $y = \frac{3}{e}x$.

а) $y = e^{\frac{x}{2}}$

Шаг 1: Обозначим точку касания

Пусть касательная проводится к графику функции $f(x) = e^{\frac{x}{2}}$ в точке $x = a$. Тогда:

• Значение функции в этой точке:

  $$f(a) = e^{\frac{a}{2}}$$

• Производная функции:

  $$f'(x) = \left( e^{\frac{x}{2}} \right)’ = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} \quad \Rightarrow \quad f'(a) = \frac{1}{2} e^{\frac{a}{2}}$$

Шаг 2: Уравнение касательной

Общий вид уравнения касательной к графику функции в точке $x = a$:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим:

$$y = e^{\frac{a}{2}} + \frac{1}{2} e^{\frac{a}{2}} (x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = \frac{1}{2} x e^{\frac{a}{2}} + e^{\frac{a}{2}} — \frac{1}{2} a e^{\frac{a}{2}}$$

Шаг 3: Требование прохождения через начало координат

Пусть касательная проходит через точку $(0, 0)$. Подставим $x = 0$, $y = 0$ в уравнение касательной:

$$0 = \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot e^{\frac{a}{2}} + e^{\frac{a}{2}} — \frac{1}{2} a e^{\frac{a}{2}} = e^{\frac{a}{2}} (1 — \frac{a}{2})$$

Решаем:

$$e^{\frac{a}{2}} (1 — \frac{a}{2}) = 0$$

Показательная функция всегда положительна, значит:

$$1 — \frac{a}{2} = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} = 1 \Rightarrow a = 2$$

Шаг 4: Подставим найденное значение $a = 2$ в уравнение касательной

$$y = \frac{1}{2} x e^{\frac{2}{2}} = \frac{1}{2} x e = \frac{e}{2}x$$

Ответ:

$$\boxed{y = \frac{e}{2}x}$$

б) $y = \ln x$

Шаг 1: Точка касания — пусть $x = a$

• Значение функции:

  $$f(a) = \ln a$$

• Производная:

  $$f'(x) = \frac{1}{x} \Rightarrow f'(a) = \frac{1}{a}$$

Шаг 2: Уравнение касательной

$$y = \ln a + \frac{1}{a}(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = \frac{1}{a}x + \ln a — \frac{a}{a} = \frac{1}{a}x + \ln a — 1$$

Шаг 3: Условие прохождения через начало координат

Подставим $x = 0$, $y = 0$:

$$0=\frac{1}{a}\cdot 0+\ln a-1\Rightarrow \ln a=1\Rightarrow a=e$$

Шаг 4: Подставим $a = e$ в уравнение касательной

$$y = \frac{1}{e}x + \ln e — 1 = \frac{1}{e}x + 0 = \frac{1}{e}x$$

Ответ:

$$\boxed{y = \frac{1}{e}x}$$

в) $y = e^{\frac{x}{3}}$

Шаг 1: Обозначим точку касания $x = a$

• Значение функции:

  $$f(a) = e^{\frac{a}{3}}$$

• Производная:

  $$f'(a) = \left( e^{\frac{a}{3}} \right)’ = \frac{1}{3} e^{\frac{a}{3}}$$

Шаг 2: Уравнение касательной

$$y = e^{\frac{a}{3}} + \frac{1}{3} e^{\frac{a}{3}} (x — a) = \frac{1}{3} e^{\frac{a}{3}}x + e^{\frac{a}{3}} — \frac{1}{3} a e^{\frac{a}{3}}$$

Шаг 3: Подставим условие $y(0) = 0$

$$0 = \frac{1}{3} \cdot 0 \cdot e^{\frac{a}{3}} + e^{\frac{a}{3}} — \frac{1}{3} a e^{\frac{a}{3}} = e^{\frac{a}{3}} \left( 1 — \frac{a}{3} \right)$$ $$1 — \frac{a}{3} = 0 \Rightarrow a = 3$$

Шаг 4: Подставим $a = 3$ в уравнение касательной

$$y=\frac{1}{3}{e}^{1}x=\frac{e}{3}x$$

Ответ:

$$\boxed{y = \frac{e}{3}x}$$

г) $y = \ln x^3$

Шаг 1: Упростим функцию

$$\ln x^3 = 3 \ln x \Rightarrow f(x) = 3 \ln x$$

• Значение функции:

  $$f(a) = 3 \ln a$$

• Производная:

  $$f'(a) = \frac{3}{a}$$

Шаг 2: Уравнение касательной

$$y = 3 \ln a + \frac{3}{a}(x — a) = \frac{3}{a}x + 3 \ln a — 3$$

Шаг 3: Подставим условие прохождения через начало координат

$$0 = \frac{3}{a} \cdot 0 + 3 \ln a — 3 \Rightarrow \ln a = 1 \Rightarrow a = e$$

Шаг 4: Подставим $a = e$ в уравнение касательной

$$y = \frac{3}{e}x + 3 \ln e — 3 = \frac{3}{e}x + 0 = \frac{3}{e}x$$

Ответ:

$$\boxed{y = \frac{3}{e}x}$$