ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение производной заданной функции в указанной точке $x_0$:

а) $y = e^x + x^2$, $x_0 = 0$;

б) $y = e^x(x + 1)$, $x_0 = -1$;

в) $y = e^x — x$, $x_0 = 1$;

г) $y = \frac{e^x}{x + 1}$, $x_0 = 0$

Найти значение производной в точке с абсциссой $x_0$:

а) $y = e^x + x^2$, $x_0 = 0$;
$y'(x) = (e^x)’ + (x^2)’ = e^x + 2x$;
$y'(0) = e^0 + 2 \cdot 0 = 1 + 0 = 1$;
Ответ: 1.

б) $y = e^x(x + 1)$, $x_0 = -1$;
$y'(x) = (e^x)’ \cdot (x + 1) + e^x \cdot (x + 1)’$;
$y'(x) = e^x \cdot (x + 1) + e^x \cdot 1 = e^x(x + 1 + 1) = e^x(x + 2)$;
$y'(-1) = e^{-1} \cdot (-1 + 2) = e^{-1} \cdot 1 = \frac{1}{e}$;
Ответ: $\frac{1}{e}$.

в) $y = e^x — x$, $x_0 = 1$;
$y'(x) = (e^x)’ — (x)’ = e^x — 1$;
$y'(1) = e^1 — 1 = e — 1$;
Ответ: $e — 1$.

г) $y = \frac{e^x}{x + 1}$, $x_0 = 0$;
$y'(x) = \frac{(e^x)’ \cdot (x + 1) — e^x \cdot (x + 1)’}{(x + 1)^2} = \frac{e^x \cdot (x + 1) — e^x \cdot 1}{(x + 1)^2}$;
$y'(x) = \frac{e^x \cdot x + e^x — e^x}{(x + 1)^2} = \frac{x e^x}{(x + 1)^2}$;
$y'(0) = \frac{0 \cdot e^0}{(0 + 1)^2} = \frac{0 \cdot 1}{1^2} = \frac{0}{1} = 0$;
Ответ: 0.

Найти значение производной в точке с абсциссой $x_0$:

а) $y = e^x + x^2$, $x_0 = 0$

Функция состоит из суммы двух слагаемых: $e^x$ и $x^2$.
Производную суммы находим как сумму производных:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(x^2)$$ $$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x,\quad \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$ $$y'(x) = e^x + 2x$$

Теперь подставим $x_0 = 0$ в выражение для производной:

$$y'(0) = e^0 + 2 \cdot 0 = 1 + 0 = 1$$

Ответ: 1

б) $y = e^x(x + 1)$, $x_0 = -1$

Функция является произведением двух функций: $e^x$ и $x + 1$.
Применим правило производной произведения:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(e^x \cdot (x + 1)) = \frac{d}{dx}(e^x) \cdot (x + 1) + e^x \cdot \frac{d}{dx}(x + 1)$$ $$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x,\quad \frac{d}{dx}(x + 1) = 1$$ $$y'(x) = e^x \cdot (x + 1) + e^x \cdot 1 = e^x(x + 1) + e^x$$

Сложим два слагаемых:

$$y'(x) = e^x(x + 1) + e^x = e^x(x + 1 + 1) = e^x(x + 2)$$

Теперь подставим $x_0 = -1$:

$$y'(-1) = e^{-1}(-1 + 2) = e^{-1} \cdot 1 = \frac{1}{e}$$

Ответ: $\frac{1}{e}$

в) $y = e^x — x$, $x_0 = 1$

Функция состоит из разности двух слагаемых: $e^x$ и $x$.
Производная разности равна разности производных:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) — \frac{d}{dx}(x)$$ $$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x,\quad \frac{d}{dx}(x) = 1$$ $$y'(x) = e^x — 1$$

Теперь подставим $x_0 = 1$:

$$y'(1) = e^1 — 1 = e — 1$$

Ответ: $e — 1$

г) $y = \frac{e^x}{x + 1}$, $x_0 = 0$

Функция представляет собой дробь, то есть отношение двух функций: числителя $e^x$ и знаменателя $x + 1$.
Применим правило производной частного:

$$y'(x) = \frac{\frac{d}{dx}(e^x) \cdot (x + 1) — e^x \cdot \frac{d}{dx}(x + 1)}{(x + 1)^2}$$ $$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x,\quad \frac{d}{dx}(x + 1) = 1$$ $$y'(x) = \frac{e^x \cdot (x + 1) — e^x \cdot 1}{(x + 1)^2}$$ $$y'(x) = \frac{e^x(x + 1) — e^x}{(x + 1)^2}$$

В числителе можно вынести $e^x$ за скобку:

$$y'(x) = \frac{e^x[(x + 1) — 1]}{(x + 1)^2} = \frac{e^x \cdot x}{(x + 1)^2}$$

Теперь подставим $x_0 = 0$:

$$y'(0) = \frac{e^0 \cdot 0}{(0 + 1)^2} = \frac{1 \cdot 0}{1^2} = \frac{0}{1} = 0$$

Ответ: 0