ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = e^{3x-1}$, $x_0 = \frac{1}{3}$;

б) $y = 3e^{6+x}$, $x_0 = -5$;

в) $y = e^{4-9x}$, $x_0 = \frac{4}{9}$;

г) $y = e^{0.5x-3}$, $x_0 = 4$

Найти значение производной в точке с абсциссой $x_0$:

а) $y = e^{3x-1}$, $x_0 = \frac{1}{3}$;
$y'(x) = (e^{3x-1})’ = 3e^{3x-1}$;
$y’\left(\frac{1}{3}\right) = 3e^{3 \cdot \frac{1}{3} — 1} = 3e^{1-1} = 3e^0 = 3$;
Ответ: 3.

б) $y = 3e^{6+x}$, $x_0 = -5$;
$y'(x) = 3(e^{6+x})’ = 3 \cdot 1 \cdot e^{6+x} = 3e^{6+x}$;
$y'(-5) = 3e^{6-5} = 3e^1 = 3e$;
Ответ: $3e$.

в) $y = e^{4-9x}$, $x_0 = \frac{4}{9}$;
$y'(x) = (e^{4-9x})’ = -9e^{4-9x}$;
$y’\left(\frac{4}{9}\right) = -9e^{4 — 9 \cdot \frac{4}{9}} = -9e^{4-4} = -9e^0 = -9$;
Ответ: -9.

г) $y = e^{0.5x-3}$, $x_0 = 4$;
$y'(x) = (e^{0.5x-3})’ = 0.5e^{0.5x-3}$;
$y'(4) = 0.5e^{0.5 \cdot 4 — 3} = 0.5e^{2-3} = \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{1}{2e}$;
Ответ: $\frac{1}{2e}$.

Найти значение производной в точке с абсциссой $x_0$:

а) $y = e^{3x — 1}$, $x_0 = \frac{1}{3}$

Функция является показательной:

$$y = e^{u(x)}, \quad \text{где } u(x) = 3x — 1$$

Производную сложной функции берём по правилу цепочки:

$$y'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{u(x)} \right) = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$

Находим производную внутренней функции $u(x) = 3x — 1$:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(3x — 1) = 3$$

Тогда:

$$y'(x) = 3 \cdot e^{3x — 1}$$

Подставим $x_0 = \frac{1}{3}$:

$$y’\left( \frac{1}{3} \right) = 3 \cdot e^{3 \cdot \frac{1}{3} — 1} = 3 \cdot e^{1 — 1} = 3 \cdot e^0 = 3 \cdot 1 = 3$$

Ответ: 3

б) $y = 3e^{6 + x}$, $x_0 = -5$

Функция имеет вид константа $\cdot$ показательная функция:

$$y = 3 \cdot e^{u(x)}, \quad u(x) = 6 + x$$

Производная константы на функцию:

$$y'(x) = 3 \cdot \frac{d}{dx}(e^{6 + x}) = 3 \cdot u'(x) \cdot e^{u(x)}$$

Находим производную от $u(x) = 6 + x$:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(6 + x) = 1$$

Подставляем:

$$y'(x) = 3 \cdot 1 \cdot e^{6 + x} = 3e^{6 + x}$$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -5$:

$$y'(-5) = 3e^{6 + (-5)} = 3e^1 = 3e$$

Ответ: $3e$

в) $y = e^{4 — 9x}$, $x_0 = \frac{4}{9}$

Это снова показательная функция:

$$y = e^{u(x)}, \quad u(x) = 4 — 9x$$

Применим правило цепочки:

$$y'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$

Находим производную от $u(x)$:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(4 — 9x) = -9$$

Тогда:

$$y'(x) = -9 \cdot e^{4 — 9x}$$

Подставим $x_0 = \frac{4}{9}$:

$$y’\left( \frac{4}{9} \right) = -9 \cdot e^{4 — 9 \cdot \frac{4}{9}} = -9 \cdot e^{4 — 4} = -9 \cdot e^0 = -9 \cdot 1 = -9$$

Ответ: -9

г) $y = e^{0.5x — 3}$, $x_0 = 4$

Функция имеет вид $y = e^{u(x)}$, где

$$u(x) = 0.5x — 3$$

Применим правило дифференцирования сложной функции:

$$y'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$

Находим производную $u'(x)$:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(0.5x — 3) = 0.5$$

Тогда:

$$y'(x) = 0.5 \cdot e^{0.5x — 3}$$

Теперь подставим $x_0 = 4$:

$$y'(4) = 0.5 \cdot e^{0.5 \cdot 4 — 3} = 0.5 \cdot e^{2 — 3} = 0.5 \cdot e^{-1}$$ $$0.5 \cdot e^{-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{2e}$$

Ответ: $\frac{1}{2e}$