ГДЗ 10-11 Класс Номер 47.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение f'(x) = а если:

а) $f(x) = 3e^{x+4}$, $a = \frac{3}{e}$;

б) $f(x) = 2 + \frac{1}{3}e^{-6x-1}$, $a = -2$;

в) $f(x) = 2e^{-7x+9}$, $a = -14$;

г) $f(x) = 42 — e^{0.1x-4}$, $a = 0.1$

Решить уравнение $f'(x) = a$, если:

а) $f(x) = 3e^{x+4}$, $a = \frac{3}{e}$;
$f'(x) = 3(e^{x+4})’ = 3 \cdot 1 \cdot e^{x+4} = 3e^{x+4}$;
Решение уравнения:
$3e^{x+4} = \frac{3}{e} \quad | \cdot \frac{e}{3}$;
$e^{x+5} = 1$;
$x + 5 = 0$;
$x = -5$;
Ответ: $-5$.

б) $f(x) = 2 + \frac{1}{3}e^{-6x-1}$, $a = -2$;
$f'(x) = (2)’ + \frac{1}{3}(e^{-6x-1})’ = 0 + \frac{1}{3} \cdot (-6e^{-6x-1}) = -2e^{-6x-1}$;
Решение уравнения:
$-2e^{-6x-1} = -2$;
$e^{-6x-1} = 1$;
$-6x — 1 = 0$;
$-6x = 1$;
$x = -\frac{1}{6}$;
Ответ: $-\frac{1}{6}$.

в) $f(x) = 2e^{-7x+9}$, $a = -14$;
$f'(x) = 2(e^{-7x+9})’ = 2 \cdot (-7e^{-7x+9}) = -14e^{-7x+9}$;
Решение уравнения:
$-14e^{-7x+9} = -14$;
$e^{-7x+9} = 1$;
$-7x + 9 = 0$;
$7x = 9$;
$x = \frac{9}{7}$;
Ответ: $\frac{9}{7}$.

г) $f(x) = 42 — e^{0.1x-4}$, $a = 0.1$;
$f'(x) = (42)’ — (e^{0.1x-4})’ = 0 — 0.1e^{0.1x-4} = -0.1e^{0.1x-4}$;
Решение уравнения:
$-0.1e^{0.1x-4} = 0.1$;
$e^{0.1x-4} = -1$;
$x \in \varnothing$;
Ответ: корней нет.

а) $f(x) = 3e^{x + 4}, \quad a = \dfrac{3}{e}$

Шаг 1. Найдём производную функции:

$$f'(x) = 3 \cdot \frac{d}{dx}(e^{x + 4}) = 3 \cdot e^{x + 4}$$

Шаг 2. Подставим в уравнение:

$$3e^{x + 4} = \frac{3}{e}$$

Шаг 3. Разделим обе части на 3:

$$e^{x + 4} = \frac{1}{e}$$

Шаг 4. Представим правую часть как экспоненту:

$$e^{x + 4} = e^{-1}$$

Шаг 5. Приравняем показатели степеней:

$$x + 4 = -1$$

Шаг 6. Выразим $x$:

$$x = -1 — 4 = -5$$

Ответ: $\boxed{-5}$

б) $f(x) = 2 + \dfrac{1}{3}e^{-6x — 1}, \quad a = -2$

Шаг 1. Найдём производную:
Постоянная 2 исчезает, остаётся:

$$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx}(e^{-6x — 1}) = \frac{1}{3} \cdot (-6) \cdot e^{-6x — 1} = -2e^{-6x — 1}$$

Шаг 2. Подставим в уравнение:

$$-2e^{-6x — 1} = -2$$

Шаг 3. Разделим обе части на -2:

$$e^{-6x — 1} = 1$$

Шаг 4. Поскольку $e^0 = 1$, приравниваем степени:

$$-6x — 1 = 0$$

Шаг 5. Решим:

$$-6x = 1 \Rightarrow x = -\frac{1}{6}$$

Ответ: $\boxed{-\dfrac{1}{6}}$

в) $f(x) = 2e^{-7x + 9}, \quad a = -14$

Шаг 1. Найдём производную:

$$f'(x) = 2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-7x + 9}) = 2 \cdot (-7) \cdot e^{-7x + 9} = -14e^{-7x + 9}$$

Шаг 2. Подставим в уравнение:

$$-14e^{-7x + 9} = -14$$

Шаг 3. Разделим обе части на -14:

$$e^{-7x + 9} = 1$$

Шаг 4. Приравниваем показатели:

$$-7x + 9 = 0$$

Шаг 5. Решим:

$$7x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{7}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{9}{7}}$

г) $f(x) = 42 — e^{0.1x — 4}, \quad a = 0.1$

Шаг 1. Найдём производную:

$$f'(x) = 0 — \frac{d}{dx}(e^{0.1x — 4}) = -0.1e^{0.1x — 4}$$

Шаг 2. Подставим в уравнение:

$$-0.1e^{0.1x — 4} = 0.1$$

Шаг 3. Разделим обе части на -0.1:

$$e^{0.1x — 4} = -1$$

Шаг 4. Проанализируем:
Экспоненциальная функция $e^t > 0$ при любом $t \in \mathbb{R}$, а значит:

$$e^{0.1x — 4} = -1 \text{ не имеет решений}$$

Ответ: $\boxed{\text{корней нет}}$

Итоги:

а) $\boxed{-5}$

б) $\boxed{-\dfrac{1}{6}}$

в) $\boxed{\dfrac{9}{7}}$

г) $\boxed{\text{корней нет}}$