ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что функция у = F(x) является первообразной для функции у = f(x), если:

а) $F(x) = x^2 + x^3$, $f(x) = 2x + 3x^2$;

б) $F(x) = x^4 — x^{11}$, $f(x) = 4x^3 — 11x^{10}$;

в) $F(x) = x^7 + x^9$, $f(x) = 7x^6 + 9x^8$;

г) $F(x) = x^{13} — x^{19}$, $f(x) = 13x^{12} — 19x^{18}$

Доказать, что функция $y = F(x)$ является первообразной функции $y = f(x)$, если:

а) $F(x) = x^2 + x^3$, $f(x) = 2x + 3x^2$;
$F'(x) = (x^2)’ + (x^3)’ = 2x + 3x^2 = f(x)$;
Что и требовалось доказать.

б) $F(x) = x^4 — x^{11}$, $f(x) = 4x^3 — 11x^{10}$;
$F'(x) = (x^4)’ — (x^{11})’ = 4x^3 — 11x^{10} = f(x)$;
Что и требовалось доказать.

в) $F(x) = x^7 + x^9$, $f(x) = 7x^6 + 9x^8$;
$F'(x) = (x^7)’ + (x^9)’ = 7x^6 + 9x^8 = f(x)$;
Что и требовалось доказать.

г) $F(x) = x^{13} — x^{19}$, $f(x) = 13x^{12} — 19x^{18}$;
$F'(x) = (x^{13})’ — (x^{19})’ = 13x^{12} — 19x^{18} = f(x)$;
Что и требовалось доказать.

Докажем, что функция $y = F(x)$ является первообразной функции $y = f(x)$.
То есть, докажем, что производная $F'(x) = f(x)$.

Применим правила дифференцирования степенных функций:

$$(x^n)’ = n x^{n — 1}$$

а)

Дано:

$$F(x) = x^2 + x^3, \quad f(x) = 2x + 3x^2$$

Найдём производную $F'(x)$:

$$F'(x) = (x^2)’ + (x^3)’ = 2x + 3x^2$$

Сравним:

$$F'(x) = f(x)$$

Значит, действительно:

$$\boxed{F(x) \text{ — первообразная для } f(x)}$$

Что и требовалось доказать.

б)

Дано:

$$F(x) = x^4 — x^{11}, \quad f(x) = 4x^3 — 11x^{10}$$

Найдём производную $F'(x)$:

$$F'(x) = (x^4)’ — (x^{11})’ = 4x^3 — 11x^{10}$$

Сравним:

$$F'(x) = f(x)$$

Следовательно:

$$\boxed{F(x) \text{ — первообразная для } f(x)}$$

Что и требовалось доказать.

в)

Дано:

$$F(x) = x^7 + x^9, \quad f(x) = 7x^6 + 9x^8$$

Найдём производную $F'(x)$:

$$F'(x) = (x^7)’ + (x^9)’ = 7x^6 + 9x^8$$

Сравним:

$$F'(x) = f(x)$$

Значит:

$$\boxed{F(x) \text{ — первообразная для } f(x)}$$

Что и требовалось доказать.

г)

Дано:

$$F(x) = x^{13} — x^{19}, \quad f(x) = 13x^{12} — 19x^{18}$$

Найдём производную $F'(x)$:

$$F'(x) = (x^{13})’ — (x^{19})’ = 13x^{12} — 19x^{18}$$

Сравним:

$$F'(x) = f(x)$$

Следовательно:

$$\boxed{F(x) \text{ — первообразная для } f(x)}$$

Что и требовалось доказать.