ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $f(x) = \sin 2x$;

б) $f(x) = e^{2x-5} — \cos 3x$;

в) $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}$;
г) $f(x)=\sqrt[3]{3x-1}+{\displaystyle \frac{1}{2-7x}}$

Найти хотя бы одну первообразную функции:

а) $f(x) = \sin 2x$;
Все первообразные функции:

$$F(x) = \frac{1}{2} \cdot (-\cos 2x) + C = -\frac{1}{2} \cos 2x + C;$$

Ответ: $F(x) = -\dfrac{1}{2} \cos 2x + 5$

б) $f(x) = e^{2x-5} — \cos 3x$;
Все первообразные функции:

$$F(x) = \frac{1}{2} e^{2x-5} — \frac{1}{3} \sin 3x + C;$$

Ответ: $F(x) = \dfrac{1}{2} e^{2x-5} — \dfrac{1}{3} \sin 3x + \dfrac{1}{2}$

в) $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}$;
Все первообразные функции:

$$F(x) = 1 : \frac{1}{2} \cdot \tg \frac{x}{2} + C = 2 \, \tg \frac{x}{2} + C;$$

Ответ: $F(x) = 2 \, \tg \dfrac{x}{2} + 1$

г) $f(x) = \sqrt[3]{3x — 1} + \dfrac{1}{2 — 7x} = (3x — 1)^{\frac{1}{3}} + \dfrac{1}{2 — 7x}$;
Все первообразные функции:

$$F(x) = \frac{1}{3} \cdot (3x — 1)^{\frac{4}{3}} : \frac{4}{3} + \left( -\frac{1}{7} \ln |2 — 7x| \right) + C;$$ $$F(x) = \frac{1}{4} \sqrt[3]{(3x — 1)^4} — \frac{1}{7} \ln |2 — 7x| + C;$$

Ответ: $F(x) = \dfrac{1}{4} \sqrt[3]{(3x — 1)^4} — \dfrac{1}{7} \ln |2 — 7x|$

а) $f(x) = \sin 2x$

Шаг 1. Функция $\sin 2x$ — это синус сложной функции $u = 2x$

Шаг 2. Воспользуемся формулой:

$$\int \sin(kx) \, dx = -\frac{1}{k} \cos(kx) + C$$

Шаг 3. В данном случае $k = 2$, поэтому:

$$\int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C$$

Ответ:

$$F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x + 5$$

б) $f(x) = e^{2x — 5} — \cos 3x$

Разделим на два слагаемых и найдём первообразную каждого:

Первое слагаемое: $e^{2x — 5}$

Шаг 1. Внутренняя функция: $u = 2x — 5$, тогда:

$$\int e^{2x — 5} dx = \frac{1}{2} e^{2x — 5} + C$$

Формула: $\int e^{kx + b} \, dx = \frac{1}{k} e^{kx + b} + C$

Второе слагаемое: $-\cos 3x$

Формула: $\int \cos(kx) \, dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C$

$$\int -\cos 3x \, dx = -\frac{1}{3} \sin 3x + C$$

Объединяем:

$$F(x) = \frac{1}{2} e^{2x — 5} — \frac{1}{3} \sin 3x + C$$

Ответ:

$$F(x) = \frac{1}{2} e^{2x — 5} — \frac{1}{3} \sin 3x + \frac{1}{2}$$

в) $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}$

Перепишем:

$$f(x) = \sec^2\left( \frac{x}{2} \right)$$

Но в школьной математике чаще используем:

$$f(x) = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \tg’\left( \frac{x}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$$

Формула: $\int \frac{1}{\cos^2 u} \, dx = \tg u + C$

Шаг 1. Замена переменной: $u = \frac{x}{2}$, тогда $du = \frac{1}{2} dx \Rightarrow dx = 2\,du$

Шаг 2. Подстановка:

$$\int \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \, dx = 2 \tg\left( \frac{x}{2} \right) + C$$

Ответ:

$$F(x) = 2 \tg\left( \frac{x}{2} \right) + 1$$

г) $f(x) = \sqrt[3]{3x — 1} + \frac{1}{2 — 7x}$

Разделим на два слагаемых и проинтегрируем каждое по отдельности.

Первое слагаемое: $\sqrt[3]{3x — 1} = (3x — 1)^{\frac{1}{3}}$

Шаг 1. Используем формулу:

$$\int (ax + b)^r dx = \frac{(ax + b)^{r + 1}}{a(r + 1)} + C, \quad r \ne -1$$

В нашем случае:
$a = 3$, $b = -1$, $r = \frac{1}{3}$

$$\int (3x — 1)^{\frac{1}{3}} dx = \frac{(3x — 1)^{\frac{4}{3}}}{3 \cdot \frac{4}{3}} = \frac{1}{4} (3x — 1)^{\frac{4}{3}} = \frac{1}{4} \sqrt[3]{(3x — 1)^4}$$

Второе слагаемое: $\frac{1}{2 — 7x}$

Шаг 1. Воспользуемся заменой:
$u = 2 — 7x$, $\frac{du}{dx} = -7 \Rightarrow dx = \frac{du}{-7}$

$$\int \frac{1}{2 — 7x} dx = -\frac{1}{7} \ln |2 — 7x| + C$$

Объединяем:

$$F(x) = \frac{1}{4} \sqrt[3]{(3x — 1)^4} — \frac{1}{7} \ln |2 — 7x| + C$$

Ответ:

$$F(x) = \frac{1}{4} \sqrt[3]{(3x — 1)^4} — \frac{1}{7} \ln |2 — 7x|$$