ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через заданную точку М:

а) $y = \sin x$, $M\left(\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{1}{4} \right)$

б) $y = \dfrac{1}{\cos^2 x}$, $M\left(\dfrac{\pi}{4}; -1 \right)$

в) $y = \cos x$, $M\left(\dfrac{\pi}{6}; 1 \right)$

г) $y = \dfrac{1}{\sin^2 \dfrac{x}{3}}$, $M({\displaystyle \frac{3\pi }{4}};0)$

Для данной функции найти ту первообразную, график которой проходит через заданную точку $M$:

а) $y = \sin x$, $M\left(\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{1}{4} \right)$

Все первообразные функции:

$$F(x) = -\cos x + C$$

Искомая первообразная:

$$\dfrac{1}{4} = -\cos \dfrac{\pi}{3} + C$$ $$\dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{2} + C$$ $$C = \dfrac{3}{4}$$

Ответ: $F(x) = -\cos x + \dfrac{3}{4}$

б) $y = \dfrac{1}{\cos^2 x}$, $M\left(\dfrac{\pi}{4}; -1 \right)$

Все первообразные функции:

$$F(x) = \tg x + C$$

Искомая первообразная:

$$-1 = \tg \dfrac{\pi}{4} + C$$ $$-1 = 1 + C$$ $$C = -2$$

Ответ: $F(x) = \tg x — 2$

в) $y = \cos x$, $M\left(\dfrac{\pi}{6}; 1 \right)$

Все первообразные функции:

$$F(x) = \sin x + C$$

Искомая первообразная:

$$1 = \sin \dfrac{\pi}{6} + C$$ $$1 = \dfrac{1}{2} + C$$ $$C = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$$

Ответ: $F(x) = \sin x + 0{,}5$

г) $y = \dfrac{1}{\sin^2 \dfrac{x}{3}}$, $M\left(\dfrac{3\pi}{4}; 0 \right)$

Все первообразные функции:

$$F(x) = 1 : \dfrac{1}{3} \cdot \left( -\ctg \dfrac{x}{3} \right) + C = -3\, \ctg \dfrac{x}{3} + C$$

Искомая первообразная:

$$0 = -3 \cdot \ctg\left( \dfrac{3\pi}{4} : 3 \right) + C$$ $$C = 3 \cdot \ctg \dfrac{\pi}{4} = 3$$

Ответ: $F(x) = -3\, \ctg \dfrac{x}{3} + 3$

а) $y = \sin x$, $M\left(\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{1}{4} \right)$

Найдём общую первообразную:

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$

Все первообразные функции:

$$F(x) = -\cos x + C$$

Подставим координаты точки $M\left(\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{1}{4}\right)$ в выражение $F(x)$:

$$\frac{1}{4} = -\cos\left( \frac{\pi}{3} \right) + C$$ $$\cos\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$$ $$\frac{1}{4} = -\frac{1}{2} + C$$ $$C = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$$

Ответ:

$$F(x) = -\cos x + \frac{3}{4}$$

б) $y = \frac{1}{\cos^2 x}$, $M\left( \frac{\pi}{4}; -1 \right)$

Первообразная функции $\frac{1}{\cos^2 x}$ равна:

$$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tg x + C$$

Все первообразные функции:

$$F(x) = \tg x + C$$

Подставим точку $M\left( \frac{\pi}{4}; -1 \right)$:

$$-1 = \tg\left( \frac{\pi}{4} \right) + C$$ $$\tg\left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$$ $$-1 = 1 + C \Rightarrow C = -2$$

Ответ:

$$F(x) = \tg x — 2$$

в) $y = \cos x$, $M\left( \frac{\pi}{6}; 1 \right)$

Первообразная:

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$

Все первообразные функции:

$$F(x) = \sin x + C$$

Подставим координаты точки:

$$1 = \sin\left( \frac{\pi}{6} \right) + C$$ $$\sin\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$$ $$1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$$

Ответ:

$$F(x) = \sin x + \frac{1}{2}$$

г) $y = \frac{1}{\sin^2 \left( \frac{x}{3} \right)}$, $M\left( \frac{3\pi}{4}; 0 \right)$

Запишем $f(x)$ через степень:

$$f(x) = \frac{1}{\sin^2 \left( \frac{x}{3} \right) } = \text{это производная } \ctg\left( \frac{x}{3} \right) \text{ со знаком минус}$$

Формула:

$$\int \frac{1}{\sin^2 u} \, dx = -\ctg u + C$$

Сначала найдём общую первообразную:

$$\int \frac{1}{\sin^2 \left( \frac{x}{3} \right)}\,dx = -3 \ctg \left( \frac{x}{3} \right) + C$$

Обоснование: производная $\ctg \left( \frac{x}{3} \right)$ равна

$$-\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sin^2 \left( \frac{x}{3} \right)} \Rightarrow \text{чтобы получить обратную операцию, домножаем на } -3$$

Все первообразные функции:

$$F(x) = -3 \ctg \left( \frac{x}{3} \right) + C$$

Подставим точку $M\left( \frac{3\pi}{4}; 0 \right)$:

Вычисляем:

$$0 = -3 \cdt\left( \frac{3\pi}{4} \div 3 \right) + C = -3 \ctg\left( \frac{\pi}{4} \right) + C$$ $$\ctg\left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$$ $$0 = -3 \cdot 1 + C \Rightarrow C = 3$$

Ответ:

$$F(x) = -3 \ctg \left( \frac{x}{3} \right) + 3$$