ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Точка движется по координатной прямой, её скорость задана формулой v = 1 + 2t, t — время движения. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t = 2 координата точки равнялась числу 5.

Скорость точки задана формулой: $v = 1 + 2t$;

Закон движения точки (первообразная функции):
$s(t) = t + 2 \cdot \frac{t^2}{2} + C = t^2 + t + C$;

При $t = 2$ координата точки равнялась 5, значит:
$5 = 2^2 + 2 + C$;
$5 = 4 + 2 + C$;
$C = -1$;

Ответ: $s(t) = t^2 + t — 1$.

Точка движется по координатной прямой. Её скорость задана формулой:

$$v(t) = 1 + 2t,$$

где $t$ — время.

Известно, что в момент времени $t = 2$ координата точки $s = 5$.

Найти: закон движения точки, то есть функцию $s(t)$, описывающую координату точки в зависимости от времени.

Шаг 1. Понимание задачи

Скорость $v(t)$ — это производная от координаты:

$$v(t) = \frac{ds}{dt}$$

Чтобы найти координату $s(t)$, нужно проинтегрировать скорость $v(t)$:

$$s(t) = \int v(t) \, dt = \int (1 + 2t) \, dt$$

Шаг 2. Вычисление неопределённого интеграла

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$$\int (1 + 2t) \, dt = \int 1 \, dt + \int 2t \, dt$$ $$= t + 2 \cdot \frac{t^2}{2} + C$$ $$= t + t^2 + C$$

Таким образом:

$$s(t) = t^2 + t + C$$

Это общий вид закона движения, где $C$ — неизвестная константа, которую найдём из условия задачи.

Шаг 3. Используем дополнительное условие

Из условия:
при $t = 2$, координата $s = 5$.

Подставим эти значения в найденное выражение для $s(t)$:

$$5 = (2)^2 + 2 + C$$ $$5 = 4 + 2 + C$$ $$5 = 6 + C \Rightarrow C = 5 — 6 = -1$$

Шаг 4. Подставим найденное значение $C$ в общий вид

$$s(t) = t^2 + t + C = t^2 + t — 1$$

Ответ:

$$s(t) = t^2 + t — 1$$

Это закон движения точки.