ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Скорость движения точки по координатной прямой задана формулои $v={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{2t+1}}}$, t — время движения. Найдите закон движения, если s(0) = 3.

Скорость точки задана формулой: $v = \dfrac{6}{\sqrt{2t + 1}}$;

Закон движения точки (первообразная функции):

$$v(t) = \frac{6}{\sqrt{2t + 1}} = 6(2t + 1)^{-\frac{1}{2}};$$ $$s(t) = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot (2t + 1)^{\frac{1}{2}} : \frac{1}{2} + C = 6\sqrt{2t + 1} + C;$$

При $t = 0$ координата точки равнялась 3, значит:

$$3 = 6 \cdot \sqrt{2 \cdot 0 + 1} + C;$$ $$3 = 6 \cdot \sqrt{1} + C;$$ $$3 = 6 + C;$$ $$C = -3;$$

Ответ: $s(t) = 6\sqrt{2t + 1} — 3$.

Скорость движения точки по координатной прямой задана формулой:

$$v(t) = \frac{6}{\sqrt{2t + 1}}$$

Также известно:

$$s(0) = 3$$

Нужно найти закон движения точки — то есть функцию $s(t)$, задающую координату точки в момент времени $t$.

Шаг 1. Связь между скоростью и координатой

Скорость $v(t)$ — это производная координаты $s(t)$ по времени:

$$v(t) = \frac{ds}{dt}$$

Чтобы найти $s(t)$, нужно проинтегрировать $v(t)$:

$$s(t) = \int v(t)\,dt = \int \frac{6}{\sqrt{2t + 1}} \, dt$$

Шаг 2. Подготовим подынтегральную функцию

Представим корень как степень:

$$\frac{6}{\sqrt{2t + 1}} = 6(2t + 1)^{-\frac{1}{2}}$$

Получаем:

$$s(t) = \int 6(2t + 1)^{-\frac{1}{2}} \, dt$$

Шаг 3. Используем замену переменной

Пусть:

$$u = 2t + 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{dt} = 2 \Rightarrow dt = \frac{du}{2}$$

Подставим в интеграл:

$$s(t) = \int 6u^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{du}{2} = 3 \int u^{-\frac{1}{2}} \, du$$

Шаг 4. Интегрируем

Воспользуемся формулой интегрирования степенной функции:

$$\int u^r \, du = \frac{u^{r+1}}{r+1} + C, \quad r \ne -1$$

Здесь $r = -\frac{1}{2}$, значит:

$$\int u^{-\frac{1}{2}} \, du = \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{u}$$

Тогда:

$$s(t) = 3 \cdot 2\sqrt{u} + C = 6\sqrt{u} + C$$

Шаг 5. Возвращаемся к переменной $t$

Напомним, $u = 2t + 1$, тогда:

$$s(t) = 6\sqrt{2t + 1} + C$$

Шаг 6. Используем начальное условие $s(0) = 3$

Подставим $t = 0$ в выражение:

$$s(0) = 6\sqrt{2 \cdot 0 + 1} + C = 6\sqrt{1} + C = 6 + C$$

Сравним с условием:

$$3 = 6 + C \Rightarrow C = -3$$

Шаг 7. Подставляем значение $C$ обратно

$$s(t) = 6\sqrt{2t + 1} — 3$$

Ответ:

$$s(t) = 6\sqrt{2t + 1} — 3$$

Это и есть закон движения точки.