ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Для функции у = g(x) найдите ту первообразную, график которой проходит через заданную точку М:

а) $g(x) = 8 \sin \dfrac{x}{2} \cdot \cos \dfrac{x}{2}, \quad M\left(\dfrac{\pi}{2}; 3\right)$;

б) $g(x) = 2 \cos^2 \dfrac{x}{2} — 1, \quad M\left(\dfrac{\pi}{2}; 16\right)$;

в) $g(x) = \cos^2 \dfrac{x}{2} — \sin^2 \dfrac{x}{2}, \quad M(0; 7)$;

г) $g(x) = 1 — 2 \sin^2 \dfrac{x}{2}, \quad M\left(\dfrac{\pi}{2}; 15\right)$

Для данной функции найти ту первообразную, график которой проходит через заданную точку $M$:

а) $g(x) = 8 \sin \dfrac{x}{2} \cdot \cos \dfrac{x}{2}, \quad M\left(\dfrac{\pi}{2}; 3\right)$;

Преобразуем функцию:

$$g(x) = 8 \sin \dfrac{x}{2} \cdot \cos \dfrac{x}{2} = 4 \sin x;$$

Все первообразные функции:

$$F(x) = 4 \cdot (-\cos x) + C = -4 \cos x + C;$$

Искомая первообразная:

$$3 = -4 \cos \dfrac{\pi}{2} + C;$$ $$3 = -4 \cdot 0 + C;$$ $$C = 3;$$

Ответ: $F(x) = -4 \cos x + 3$

б) $g(x) = 2 \cos^2 \dfrac{x}{2} — 1, \quad M\left(\dfrac{\pi}{2}; 16\right)$;

Преобразуем функцию:

$$g(x) = 2 \cos^2 \dfrac{x}{2} — 1 = \cos^2 \dfrac{x}{2} — \sin^2 \dfrac{x}{2} = \cos x;$$

Все первообразные функции:

$$F(x) = \sin x + C;$$

Искомая первообразная:

$$16 = \sin \dfrac{\pi}{2} + C;$$ $$16 = 1 + C;$$ $$C = 15;$$

Ответ: $F(x) = \sin x + 15$

в) $g(x) = \cos^2 \dfrac{x}{2} — \sin^2 \dfrac{x}{2}, \quad M(0; 7)$;

Преобразуем функцию:

$$g(x) = \cos^2 \dfrac{x}{2} — \sin^2 \dfrac{x}{2} = \cos x;$$

Все первообразные функции:

$$F(x) = \sin x + C;$$

Искомая первообразная:

$$7 = \sin 0 + C;$$ $$7 = 0 + C;$$ $$C = 7;$$

Ответ: $F(x) = \sin x + 7$

г) $g(x) = 1 — 2 \sin^2 \dfrac{x}{2}, \quad M\left(\dfrac{\pi}{2}; 15\right)$;

Преобразуем функцию:

$$g(x) = 1 — 2 \sin^2 \dfrac{x}{2} = \cos^2 \dfrac{x}{2} — \sin^2 \dfrac{x}{2} = \cos x;$$

Все первообразные функции:

$$F(x) = \sin x + C;$$

Искомая первообразная:

$$15 = \sin \dfrac{\pi}{2} + C;$$ $$15 = 1 + C;$$ $$C = 14;$$

Ответ: $F(x) = \sin x + 14$

а) $g(x) = 8 \sin \dfrac{x}{2} \cdot \cos \dfrac{x}{2}$, точка $M\left(\dfrac{\pi}{2}; 3\right)$

Шаг 1. Упрощение функции

Используем тригонометрическую формулу:

$$2 \sin A \cos A = \sin(2A)$$

Применим её с $A = \dfrac{x}{2}$:

$$8 \sin \dfrac{x}{2} \cdot \cos \dfrac{x}{2} = 4 \cdot 2 \sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2} = 4 \sin x$$

Значит:

$$g(x) = 4 \sin x$$

Шаг 2. Найдём общую первообразную

$$F(x) = \int 4 \sin x \, dx = 4 \cdot (-\cos x) + C = -4 \cos x + C$$

Шаг 3. Подставим координаты точки $M\left(\dfrac{\pi}{2}; 3\right)$

$$F\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -4 \cos \dfrac{\pi}{2} + C = -4 \cdot 0 + C = C$$

Значит:

$$3 = C$$

Ответ: $F(x) = -4 \cos x + 3$

б) $g(x) = 2 \cos^2 \dfrac{x}{2} — 1$, точка $M\left(\dfrac{\pi}{2}; 16\right)$

Шаг 1. Преобразуем функцию

Используем тождество:

$$\cos x = 2 \cos^2 \dfrac{x}{2} — 1$$

Значит:

$$g(x) = \cos x$$

Шаг 2. Найдём первообразную

$$F(x) = \int \cos x \, dx = \sin x + C$$

Шаг 3. Подставим координаты точки $M\left(\dfrac{\pi}{2}; 16\right)$

$$F\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sin \dfrac{\pi}{2} + C = 1 + C$$

Значит:

$$16 = 1 + C \Rightarrow C = 15$$

Ответ: $F(x) = \sin x + 15$

в) $g(x) = \cos^2 \dfrac{x}{2} — \sin^2 \dfrac{x}{2}$, точка $M(0; 7)$

Шаг 1. Преобразуем функцию

Используем тождество:

$$\cos^2 \dfrac{x}{2} — \sin^2 \dfrac{x}{2} = \cos x$$

Значит:

$$g(x) = \cos x$$

Шаг 2. Найдём первообразную

$$F(x) = \int \cos x \, dx = \sin x + C$$

Шаг 3. Подставим точку $M(0; 7)$

$$F(0) = \sin 0 + C = 0 + C \Rightarrow C = 7$$

Ответ: $F(x) = \sin x + 7$

г) $g(x) = 1 — 2 \sin^2 \dfrac{x}{2}$, точка $M\left(\dfrac{\pi}{2}; 15\right)$

Шаг 1. Преобразуем функцию

Используем тождество:

$$\cos x = 1 — 2 \sin^2 \dfrac{x}{2}$$

Значит:

$$g(x)=\cos x$$

Шаг 2. Найдём первообразную

$$F(x) = \int \cos x \, dx = \sin x + C$$

Шаг 3. Подставим точку $M\left(\dfrac{\pi}{2}; 15\right)$

$$F\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sin \dfrac{\pi}{2} + C = 1 + C \Rightarrow C = 14$$

Ответ: $F(x) = \sin x + 14$