ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите ту первообразную для заданной функции у = f(x), график которой касается оси х:

а) $f(x) = 2x + 3$;

б) $f(x) = 12(3x — 1)^3$

Найти ту первообразную для заданной функции, график которой касается оси абсцисс:

а) $f(x) = 2x + 3$;

Первообразная функции:

$$F(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C;$$

Функция имеет только один нуль:

$$D = 3^2 — 4 \cdot C = 9 — 4C = 0;$$ $$4C = 9;$$ $$C = \frac{9}{4} = 2{,}25;$$

Ответ: $F(x) = x^2 + 3x + 2{,}25$

б) $f(x) = 12(3x — 1)^3$;

Первообразная функции:

$$F(x) = 12 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x — 1)^4}{4} + C = (3x — 1)^4 + C;$$

Функция имеет только один нуль:

$$(3x — 1)^4 + C = 0;$$ $$C = 0;$$

Ответ: $F(x) = (3x — 1)^4$

а) Дана функция

$$f(x) = 2x + 3$$

Нужно найти такую первообразную $F(x)$, график которой касается оси абсцисс, то есть касается оси $OX$.

Это значит:

• функция $F(x)$ обращается в ноль в какой-то точке,
• но не пересекает ось $OX$,
• то есть имеет единственный корень,
• а значит дискриминант квадратного уравнения равен нулю.

Шаг 1. Находим общую первообразную функции

$$F(x) = \int (2x + 3)\, dx = \int 2x\,dx + \int 3\,dx$$ $$= 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C$$

Шаг 2. Требование касания графика оси абсцисс

График функции $F(x) = x^2 + 3x + C$ касается оси $OX$, если уравнение

$$x^2 + 3x + C = 0$$

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю.

Формула дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Здесь:

• $a = 1$
• $b = 3$
• $c = C$

Подставим:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot C = 9 — 4C$$

Поскольку хотим, чтобы был один корень:

$$D = 0 \Rightarrow 9 — 4C = 0 \Rightarrow 4C = 9 \Rightarrow C = \frac{9}{4} = 2{,}25$$

Шаг 3. Подставим $C$ в общую формулу первообразной

$$F(x) = x^2 + 3x + 2{,}25$$

Ответ для а):

$$F(x) = x^2 + 3x + 2{,}25$$

б) Дана функция

$$f(x) = 12(3x — 1)^3$$

Найти такую первообразную $F(x)$, график которой касается оси $OX$

Шаг 1. Найдём первообразную

$$F(x) = \int 12(3x — 1)^3 \, dx$$

Вынесем константу:

$$= 12 \int (3x — 1)^3 \, dx$$

Используем замену:
Пусть $u = 3x — 1$, тогда

$$du = 3\,dx \Rightarrow dx = \frac{du}{3}$$

Теперь:

$$F(x) = 12 \cdot \int u^3 \cdot \frac{du}{3} = 4 \int u^3 \, du = 4 \cdot \frac{u^4}{4} + C = u^4 + C$$

Вернёмся к переменной $x$:

$$F(x) = (3x — 1)^4 + C$$

Шаг 2. Требование касания оси абсцисс

Функция $F(x) = (3x — 1)^4 + C$ касается оси $OX$, если она имеет единственный корень.

Приравняем к нулю:

$$(3x — 1)^4 + C = 0 \Rightarrow (3x — 1)^4 = -C$$

Левая часть — четвёртая степень, значит всегда неотрицательна,
то есть $(3x — 1)^4 \geq 0$

Чтобы уравнение имело хотя бы один корень, правая часть тоже должна быть $\geq 0$.
Следовательно:

$$-C \geq 0 \Rightarrow C \leq 0$$

А для единственного корня должно быть:

$$(3x — 1)^4 = 0 \Rightarrow 3x — 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$$

При этом:

$$(3x — 1)^4 + C = 0 \Rightarrow 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0$$

Ответ для б):

$$F(x) = (3x — 1)^4$$