ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите ту первообразную для заданной функции у = f(x), график которой касается заданной прямой у = kx + m:

а) $f(x) = 2x, \; y = x + 2$;

б) $f(x) = 3x^3, \; y = 3x + 4,75$

Найти ту первообразную для заданной функции $y = f(x)$, график которой касается заданной прямой $y = kx + m$:

а) $f(x) = 2x, \; y = x + 2$;

Все первообразные функции:

$F(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$;

Функции имеют только одну общую точку:

$x^2 + C = x + 2$;

$x^2 — x + (C — 2) = 0$;

$D = 1^2 — 4(C — 2) = 0$;

$1 — 4C + 8 = 0$;

$4C = 9$;

$C = \frac{9}{4} = 2,25$;

Ответ: $F(x) = x^2 + 2,25$.

б) $f(x) = 3x^3, \; y = 3x + 4,75$;

Значение первообразной:

$F(x) = 3 \cdot \frac{x^4}{4} + C = 0,75x^4 + C$;

$F(a) = 0,75a^4 + C$;

Значение функции:

$f(a) = 3a^3$;

Уравнение касательной:

$y = F(a) + f(a)(x — a) = 0,75a^4 + C + 3a^3 \cdot (x — a)$;

$y = 0,75a^4 + C + 3xa^3 — 3a^4 = 3a^3 \cdot x + (0,75a^4 — 3a^4 + C)$;

Значение параметра $a$:

$k = 3a^3 = 3$;

$a^3 = 1$;

$a = 1$;

$y = 3 \cdot 1^3 \cdot x + (0,75 \cdot 1^4 — 3 \cdot 1^4 + C) = 3x + (C — 2,25)$;

Значение параметра $C$:

$m = C — 2,25 = 4,75$;

$C = 4,75 + 2,25 = 7$;

Ответ: $F(x) = 0,75x^4 + 7$.

а) $f(x) = 2x$, прямая $y = x + 2$

Шаг 1: Находим общую формулу первообразной $F(x)$

$$F(x) = \int f(x) \, dx = \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$$

Где $C$ — произвольная константа. Это все первообразные функции.

Шаг 2: Требуем, чтобы график $y = F(x)$ касался прямой $y = x + 2$

Это значит, что графики имеют одну общую точку и одинаковый наклон (угловой коэффициент).

Пусть $y = F(x) = x^2 + C$ касается $y = x + 2$.
Тогда у них одна общая точка — приравниваем:

$$x^2 + C = x + 2$$

Решим это уравнение:

$$x^2 — x + (C — 2) = 0$$

Это квадратное уравнение. Чтобы у него был ровно один корень (то есть касание), дискриминант должен быть равен нулю:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (C — 2) = 1 — 4(C — 2)$$

Приравниваем к нулю:

$$1 — 4(C — 2) = 0$$ $$-4(C — 2) = -1$$ $$C — 2 = \frac{1}{4}$$ $$C = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4} = 2{,}25$$

Ответ (а):

$$F(x) = x^2 + 2{,}25$$

б) $f(x) = 3x^3$, прямая $y = 3x + 4{,}75$

Шаг 1: Находим общую формулу первообразной $F(x)$

$$F(x) = \int f(x) \, dx = \int 3x^3 \, dx = 3 \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{3}{4}x^4 + C = 0{,}75x^4 + C$$

Шаг 2: Составляем уравнение касательной к графику $y = F(x)$

Пусть точка касания — $x = a$.
Тогда:

• Значение функции в этой точке:

$$F(a) = 0{,}75a^4 + C$$

• Значение производной (то есть наклона касательной):

$$F'(x) = f(x) = 3x^3 \Rightarrow F'(a) = 3a^3$$

• Уравнение касательной в точке $x = a$ к графику $y = F(x)$:

$$y = F(a) + F'(a) \cdot (x — a)$$

Подставляем:

$$y = 0{,}75a^4 + C + 3a^3(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = 0{,}75a^4 + C + 3a^3x — 3a^4$$

Сгруппируем:

$$y = 3a^3x + (C + 0{,}75a^4 — 3a^4) = 3a^3x + (C — 2{,}25a^4)$$

Шаг 3: Приравниваем касательную к заданной прямой $y = 3x + 4{,}75$

Итак, уравнение касательной:

$$y = 3a^3x + (C — 2{,}25a^4)$$

Уравнение заданной прямой:

$$y = 3x + 4{,}75$$

Сравним коэффициенты:

• Наклоны равны:

$$3a^3 = 3 \Rightarrow a^3 = 1 \Rightarrow a = 1$$

• Свободные члены равны:

$$C — 2{,}25a^4 = 4{,}75$$

Поскольку $a = 1$, подставим:

$$C — 2{,}25 = 4{,}75 \Rightarrow C = 4{,}75 + 2{,}25 = 7$$

Ответ (б):

$$F(x) = 0{,}75x^4 + 7$$