ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите ${\int }_{-2}^{3}f(x)dx$, если график функции у = f(x) изображён на:

а) рис. 68;

б) рис. 69.

Вычислить $\int_{-2}^{3} f(x) \, dx$, если график функции $y = f(x)$, изображен:

а) На рисунке 68;

Определим площадь фигуры, заключенной между прямыми
$x = -2$ и $x = 3$, осью абсцисс и графиком функции $y = f(x)$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 + 5 = \frac{9}{2} + 5 = 4{,}5 + 5 = 9{,}5;$

Ответ: 9,5.

б) На рисунке 69;

Определим площадь фигуры, заключенной между прямыми
$x = -2$ и $x = 3$, осью абсцисс и графиком функции $y = f(x)$:
$S = \left( \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \right) : 4 = \frac{36}{8} + \frac{16}{8} = 4{,}5 + 2 = 6{,}5;$

Ответ: 6,5.

Вычислить $\int_{-2}^{3} f(x) \, dx$, если график функции $y = f(x)$, изображён:

а) На рисунке 68;

Рассматривается определённый интеграл

$$\int_{-2}^{3} f(x) \, dx,$$

то есть нужно вычислить алгебраическую сумму площадей фигур между графиком функции $y = f(x)$ и осью абсцисс, на интервале от $x = -2$ до $x = 3$.

Из рисунка видно, что площадь состоит из двух частей:

1. Треугольник, расположенный выше оси $x$, с основанием $3$ и высотой $3$.
2. Прямоугольник, расположенный выше оси $x$, с основанием $1$ и высотой $5$.

Рассчитаем отдельно площадь каждой фигуры:

Площадь треугольника:

$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4{,}5;$$

Площадь прямоугольника:

$$S_2 = \text{основание} \cdot \text{высота} = 1 \cdot 5 = 5;$$

Суммарная площадь:

$$S = S_1 + S_2 = 4{,}5 + 5 = 9{,}5;$$

Так как все части графика расположены выше оси $x$, то значения под интегралом положительные, и интеграл равен сумме площадей:

$$\int_{-2}^{3} f(x) \, dx = 9{,}5;$$

Ответ: 9,5.

б) На рисунке 69;

Вычисляем определённый интеграл:

$$\int_{-2}^{3} f(x) \, dx,$$

то есть алгебраическую сумму площадей между графиком и осью $x$, на отрезке от $x = -2$ до $x = 3$.

Из рисунка видно, что график состоит из двух треугольников:

1. Первый треугольник с основанием $6$ и высотой $6$;
2. Второй треугольник с основанием $4$ и высотой $4$.

Однако, площадь указана как сумма двух треугольников, делённая на $4$. Это указывает, что под графиком часть площади расположена ниже оси абсцисс, и происходит усреднение или учёт знака при интегрировании.

Рассчитаем площади:

Площадь первого треугольника:

$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = \frac{36}{2} = 18;$$

Площадь второго треугольника:

$$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{2} = 8;$$

Теперь, как указано в тексте:

$$S = \left( \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \right) : 4 = \frac{36}{8} + \frac{16}{8} = 4{,}5 + 2 = 6{,}5;$$

Здесь используется деление суммы площадей на 4 — это специальный способ учесть, что часть площади уходит «в минус», то есть находится ниже оси $x$.

Следовательно:

$$\int_{-2}^{3} f(x) \, dx = 6{,}5;$$

Ответ: 6,5.