ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = x^2$, $y = 0$, $x = 4$;

б) $y = x^3$, $y = 0$, $x = -3$, $x = 1$;

в) $y = x^2$, $y = 0$, $x = -3$;

г) $y = x^4$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 2$

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = x^2$, $y = 0$, $x = 4$;
Нули функции:
$x = 0$;
На отрезке $[0; 4]$:
$x^2 \geq 0$;
Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^4 x^2 \, dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^4 = \frac{4^3}{3} — \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3} = 21\frac{1}{3};$$

Ответ: $21\frac{1}{3}$.

б) $y = x^3$, $y = 0$, $x = -3$, $x = 1$;
Нули функции:
$x = 0$;
На отрезке $[-3; 0]$:
$x^3 \leq 0$;
На отрезке $[0; 1]$:
$x^3 \geq 0$;
Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^1 x^3 \, dx + \int_{-3}^0 -x^3 \, dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_0^1 + \left( -\left. \frac{x^4}{4} \right|_{-3}^0 \right);$$ $$S = \left( \frac{1^4}{4} — \frac{0^4}{4} \right) + \left( -\left( \frac{0^4}{4} — \frac{(-3)^4}{4} \right) \right) = \frac{1}{4} + \frac{81}{4} = \frac{82}{4} = 20,5;$$

Ответ: 20,5.

в) $y = x^2$, $y = 0$, $x = -3$;
Нули функции:
$x = 0$;
На отрезке $[-3; 0]$:
$x^2 \geq 0$;
Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{-3}^0 x^2 \, dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-3}^0 = \frac{0^3}{3} — \frac{(-3)^3}{3} = 0 + \frac{27}{3} = 9;$$

Ответ: 9.

г) $y = x^4$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 2$;
Нули функции:
$x = 0$;
На отрезке $[-1; 2]$:
$x^4 \geq 0$;
Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{-1}^2 x^4 \, dx = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^2 = \frac{2^5}{5} — \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32}{5} + \frac{1}{5} = \frac{33}{5} = 6,6;$$

Ответ: 6,6.

а) $y = x^2$, $y = 0$, $x = 4$

Шаг 1: Определим границы интегрирования.
Функция $y = x^2$ имеет нуль при $x = 0$.
Фигуру ограничивают:

• Снизу: $y = 0$ (ось $x$),
• Сверху: $y = x^2$,
• Слева: $x = 0$,
• Справа: $x = 4$.
  Значит, область лежит на отрезке $[0; 4]$.

Шаг 2: Уточним знак функции на отрезке.
На $[0; 4]$, функция $x^2 \geq 0$, всегда положительна.
Значит, площадь совпадает с определённым интегралом функции.

Шаг 3: Вычислим интеграл.

$$S = \int_0^4 x^2 \, dx$$

Воспользуемся формулой:

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Здесь $n = 2$, поэтому:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$$

Подставим пределы:

$$S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^4 = \frac{4^3}{3} — \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3} — 0 = \frac{64}{3}$$

Преобразуем:

$$\frac{64}{3} = 21 \frac{1}{3}$$

Ответ: $21\frac{1}{3}$

б) $y = x^3$, $y = 0$, $x = -3$, $x = 1$

Шаг 1: Определим границы.
Фигуру ограничивают:

• Слева: $x = -3$,
• Справа: $x = 1$,
• Снизу: $y = 0$,
• Сверху: $y = x^3$.

Шаг 2: Исследуем функцию на знаки.

• На отрезке $[-3; 0]$, $x^3 \leq 0$ (функция отрицательна).
• На отрезке $[0; 1]$, $x^3 \geq 0$ (функция положительна).

Площадь состоит из двух частей — одна под осью (отрицательная), вторая над осью (положительная).
Чтобы найти площадь фигуры целиком, берём модуль значений:

$$S = \int_0^1 x^3 \, dx + \int_{-3}^0 -x^3 \, dx$$

Шаг 3: Вычислим каждый интеграл.

Первая часть:

$$\int_0^1 x^3 \, dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_0^1 = \frac{1^4}{4} — \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4}$$

Вторая часть:

$$\int_{-3}^0 -x^3 \, dx = — \int_{-3}^0 x^3 \, dx = -\left. \frac{x^4}{4} \right|_{-3}^0 = -\left( \frac{0^4}{4} — \frac{(-3)^4}{4} \right)$$ $$= -\left( 0 — \frac{81}{4} \right) = \frac{81}{4}$$

Суммируем:

$$S = \frac{1}{4} + \frac{81}{4} = \frac{82}{4} = 20{,}5$$

Ответ: 20,5

в) $y = x^2$, $y = 0$, $x = -3$

Шаг 1: Границы области.

• Слева: $x = -3$,
• Справа: $x = 0$ (нулевой уровень),
• Снизу: $y = 0$,
• Сверху: $y = x^2$

Шаг 2: Знак функции.
На отрезке $[-3; 0]$, $x^2 \geq 0$.
Функция неотрицательна, значит интеграл равен площади.

Шаг 3: Интегрируем.

$$S = \int_{-3}^0 x^2 \, dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-3}^0 = \frac{0^3}{3} — \frac{(-3)^3}{3} = 0 — \left( -\frac{27}{3} \right) = 9$$

Ответ: 9

г) $y = x^4$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 2$

Шаг 1: Границы области.

• Слева: $x = -1$,
• Справа: $x = 2$,
• Снизу: $y = 0$,
• Сверху: $y = x^4$

Шаг 2: Знак функции.
Для любого $x \in [-1; 2]$, четвёртая степень положительна: $x^4 \geq 0$

Шаг 3: Интегрируем.

$$S = \int_{-1}^2 x^4 \, dx = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^2$$ $$= \frac{2^5}{5} — \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32}{5} — \left( -\frac{1}{5} \right) = \frac{32}{5} + \frac{1}{5} = \frac{33}{5}$$ $$\frac{33}{5} = 6{,}6$$

Ответ: 6,6