ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = x^3 + 2$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$;

б) $y = -x^2 + 4x$, $y = 0$

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = x^3 + 2$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$;

Нули функции:
$x^3 + 2 = 0$;
$x^3 = -2$;
$x = -\sqrt[3]{2}$;

На отрезке $[0; 2]$:
$x^3 + 2 \geq 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^2 (x^3 + 2)\,dx = \left( \frac{x^4}{4} + 2x \right)\bigg|_0^2 = \frac{2^4}{4} + 2 \cdot 2 = \frac{16}{4} + 4 = 8;$$

Ответ: 8.

б) $y = -x^2 + 4x$, $y = 0$;

Нули функции:
$-x^2 + 4x = 0$;
$-x(x — 4) = 0$;
$x_1 = 0$, $x_2 = 4$;

На отрезке $[0; 4]$:
$-x^2 + 4x \geq 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^4 (-x^2 + 4x)\,dx = \left( -\frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} \right)\bigg|_0^4 = \left( 2x^2 — \frac{x^3}{3} \right)\bigg|_0^4;$$ $$S = 2 \cdot 4^2 — \frac{4^3}{3} = 32 — \frac{64}{3} = \frac{96}{3} — \frac{64}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3};$$

Ответ: $10\frac{2}{3}$.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = x^3 + 2$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$

Шаг 1. Найдём точки пересечения графика с осью $x$:
Решим уравнение:

$$x^3 + 2 = 0 \Rightarrow x^3 = -2 \Rightarrow x = -\sqrt[3]{2}$$

Это точка пересечения с осью абсцисс. Однако, она не входит в отрезок $[0; 2]$, поэтому на всём отрезке от $x = 0$ до $x = 2$ функция положительна:

$$x^3 + 2 \geq 0$$

Шаг 2. Функция $f(x) = x^3 + 2$ непрерывна на $[0; 2]$, и лежит выше оси $x$, значит:

Площадь ограниченной фигуры совпадает с определённым интегралом:

$$S = \int_0^2 (x^3 + 2)\,dx$$

Шаг 3. Вычислим интеграл:

$$\int (x^3 + 2)\,dx = \int x^3\,dx + \int 2\,dx = \frac{x^4}{4} + 2x$$

Шаг 4. Подставим пределы интегрирования от 0 до 2:

$$S = \left( \frac{x^4}{4} + 2x \right)\bigg|_0^2 = \left( \frac{2^4}{4} + 2 \cdot 2 \right) — \left( \frac{0^4}{4} + 2 \cdot 0 \right)$$ $$= \left( \frac{16}{4} + 4 \right) — 0 = 4 + 4 = 8$$

Ответ: $\boxed{8}$

б) $y = -x^2 + 4x$, $y = 0$

Шаг 1. Найдём точки пересечения с осью $x$:
Решим уравнение:

$$-x^2 + 4x = 0 \Rightarrow -x(x — 4) = 0 \Rightarrow x = 0, \quad x = 4$$

Функция обнуляется в этих точках — это границы искомой области.

Шаг 2. Проверим знак функции на отрезке $[0; 4]$:

Промежуточное значение, например при $x = 2$:

$$f(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4 > 0$$

Значит, на всём отрезке $[0; 4]$, функция положительна:

$$-x^2 + 4x \geq 0$$

Шаг 3. Площадь совпадает с интегралом:

$$S = \int_0^4 (-x^2 + 4x)\,dx$$

Шаг 4. Найдём первообразную:

$$\int (-x^2 + 4x)\,dx = -\frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + 2x^2$$

Шаг 5. Подставим пределы от 0 до 4:

$$S = \left( 2x^2 — \frac{x^3}{3} \right)\bigg|_0^4 = \left( 2 \cdot 4^2 — \frac{4^3}{3} \right) — \left( 2 \cdot 0^2 — \frac{0^3}{3} \right)$$ $$= (2 \cdot 16 — \frac{64}{3}) — 0 = 32 — \frac{64}{3}$$

Шаг 6. Приведём к общему знаменателю:

$$32 = \frac{96}{3}, \quad \frac{96}{3} — \frac{64}{3} = \frac{32}{3}$$

Шаг 7. Преобразуем в смешанное число:

$$\frac{32}{3} = 10 \frac{2}{3}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 10\frac{2}{3}}}$