ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 9$

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$;

На отрезке $[1; 2]$:
$\frac{1}{x^2} > 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_1^2 \frac{dx}{x^2} = \int_1^2 x^{-2} \, dx = \left. \frac{x^{-1}}{-1} \right|_1^2 = -\left. \frac{1}{x} \right|_1^2;$$ $$S = -\frac{1}{2} + \frac{1}{1} = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0{,}5;$$

Ответ: 0,5.

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 9$;

На отрезке $[1; 9]$:
$\frac{1}{\sqrt{x}} > 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_1^9 \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int_1^9 x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \left. \left( x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} \right) \right|_1^9 = 2\sqrt{x} \Big|_1^9;$$ $$S = 2\sqrt{9} — 2\sqrt{1} = 2 \cdot 3 — 2 \cdot 1 = 6 — 2 = 4;$$

Ответ: 4.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = \dfrac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$

Шаг 1. Функция $y = \dfrac{1}{x^2}$ определена и положительна на отрезке $[1; 2]$, так как знаменатель $x^2 > 0$ при $x \ne 0$, а здесь $x \geq 1$.
Следовательно:

$$\frac{1}{x^2} > 0 \text{ на } [1; 2]$$

Шаг 2. Так как функция непрерывна и неотрицательна на заданном отрезке, площадь фигуры между графиком функции и осью $x$ вычисляется как определённый интеграл:

$$S = \int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx$$

Шаг 3. Представим подынтегральную функцию в виде степени:

$$\frac{1}{x^2} = x^{-2}$$

Шаг 4. Найдём первообразную:

$$\int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$$

Шаг 5. Подставим пределы интегрирования:

$$S = \left. -\frac{1}{x} \right|_1^2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{1}$$

Шаг 6. Выполним вычисления:

$$S = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} = 0{,}5$$

Ответ: 0,5

б) $y = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 9$

Шаг 1. Функция $y = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ определена и положительна на отрезке $[1; 9]$, так как $\sqrt{x} > 0$ при $x > 0$, а $x \geq 1$.
Следовательно:

$$\frac{1}{\sqrt{x}} > 0 \text{ на } [1; 9]$$

Шаг 2. Площадь между графиком функции и осью $x$ задаётся определённым интегралом:

$$S = \int_1^9 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$$

Шаг 3. Представим подынтегральную функцию как степень:

$$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$$

Шаг 4. Найдём первообразную:

$$\int x^{-1/2} \, dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$$

Шаг 5. Подставим пределы интегрирования:

$$S = \left. 2\sqrt{x} \right|_1^9 = 2\sqrt{9} — 2\sqrt{1}$$

Шаг 6. Вычислим значения корней:

$$2 \cdot 3 — 2 \cdot 1 = 6 — 2 = 4$$

Ответ: 4