ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$;

б) $y = \cos 2x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{6}$;

в) $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$;

г) $y = \sin \frac{x}{2}$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$;

Нули функции:
$\sin x = 0$;
$x = \pi n$;

На отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$:
$\sin x \geq 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x\, dx = -\cos x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 = -0 + 1 = 1;$$

Ответ: 1.

б) $y = \cos 2x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{6}$;

Нули функции:
$\cos 2x = 0$;
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

На отрезке $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right]$:
$\cos 2x \geq 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x\, dx = \frac{1}{2} \sin 2x \Big|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) — \frac{1}{2} \sin \left(-2 \cdot \frac{\pi}{6}\right);$$ $$S = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{3} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$;

Нули функции:
$\cos 2x = 0$;
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

На отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right]$:
$\cos x \geq 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos x\, dx = \sin x \Big|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \sin \frac{\pi}{4} — \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right);$$ $$S = \sin \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2};$$

Ответ: $\sqrt{2}$.

г) $y = \sin \frac{x}{2}$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$;

Нули функции:
$\sin \frac{x}{2} = 0$;
$\frac{x}{2} = \pi n$;
$x = 2\pi n$;

На отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$:
$\sin \frac{x}{2} \geq 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin \frac{x}{2}\, dx = \left(1 : \frac{1}{2} \cdot (-\cos \frac{x}{2})\right) \Big|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -2 \cos \frac{x}{2} \Big|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi};$$ $$S = -2 \cos \frac{\pi}{2} + 2 \cos \left(\frac{\pi}{2} : 2\right) = 2 \cos \frac{\pi}{4} — 2 \cos \frac{\pi}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2};$$

Ответ: $\sqrt{2}$.

а) $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$

Шаг 1. Найдём, где функция $\sin x = 0$:

$$\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

То есть нули функции находятся в точках $0, \pi, 2\pi, \ldots$

Шаг 2. На отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2} \right]$:

$$\sin x \geq 0$$

Функция положительна или равна нулю, значит, вся площадь под графиком находится над осью $x$.

Шаг 3. Площадь определяется как определённый интеграл:

$$S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\, dx$$

Шаг 4. Найдём первообразную функции:

$$\int \sin x\, dx = -\cos x$$

Шаг 5. Вычислим значение интеграла:

$$S = -\cos x \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 = -0 + 1 = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$

б) $y = \cos 2x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{6}$

Шаг 1. Найдём нули функции:

$$\cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 2. На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6} \right]$:
$\cos 2x \geq 0$, так как этот участок графика — верхняя часть волны косинуса.

Шаг 3. Вычислим определённый интеграл:

$$S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x\, dx$$

Шаг 4. Найдём первообразную:

$$\int \cos 2x\, dx = \frac{1}{2} \sin 2x$$

Шаг 5. Подставим пределы:

$$S = \frac{1}{2} \sin 2x \Big|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2} \left( \sin \frac{\pi}{3} — \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right)$$

Шаг 6. Учтём, что $\sin(-x) = -\sin x$:

$$= \frac{1}{2} \left( \sin \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3}$$

Шаг 7. Подставим значение:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

в) $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$

Шаг 1. На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$:

$$\cos x \geq 0$$

Так как $\cos x$ убывает от $\cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ до $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, проходя через максимум $\cos 0 = 1$, функция остаётся неотрицательной.

Шаг 2. Вычислим интеграл:

$$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos x\, dx$$

Шаг 3. Найдём первообразную:

$$\int \cos x\, dx = \sin x$$

Шаг 4. Подставим пределы:

$$S = \sin x \Big|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \sin \frac{\pi}{4} — \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 5. Учитываем $\sin(-x) = -\sin x$:

$$= \sin \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$

Ответ: $\boxed{\sqrt{2}}$

г) $y = \sin \frac{x}{2}$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$

Шаг 1. Найдём нули функции:

$$\sin \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \pi n \Rightarrow x = 2\pi n$$

Значит, ближайший нуль — в $x = 0$ и $x = 2\pi$, которые не попадают в наш отрезок.
На отрезке $\left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right]$:

$$\frac{x}{2} \in \left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right] \Rightarrow \sin \frac{x}{2} \geq 0$$

Шаг 2. Площадь:

$$S = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin \frac{x}{2}\, dx$$

Шаг 3. Используем замену:

$$\int \sin \frac{x}{2}\, dx = -2 \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 4. Подставим пределы:

$$S = -2 \cos \frac{x}{2} \Big|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -2 \cos \frac{\pi}{2} + 2 \cos \frac{\pi}{4}$$

Шаг 5. Вычислим:

$$\cos \frac{\pi}{2} = 0, \quad \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$S = 0 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$

Ответ: $\boxed{\sqrt{2}}$