ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = e^x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 3$;

б) $y = e^{-x}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 4$;

в) $y = e^x$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 1$;

г) $y = e^{-x}$, $y = 0$, $x = -2$, $x = 0$

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = e^x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 3$;

На отрезке $[0; 3]$:
$e^x > 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^3 e^x \, dx = e^x \big|_0^3 = e^3 — e^0 = e^3 — 1;$$

Ответ: $e^3 — 1$.

б) $y = e^{-x}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 4$;

На отрезке $[0; 4]$:
$e^{-x} > 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^4 e^{-x} \, dx = -e^{-x} \big|_0^4 = -e^{-4} + e^0 = -\frac{1}{e^4} + 1 = \frac{e^4 — 1}{e^4};$$

Ответ: $\frac{e^4 — 1}{e^4}$.

в) $y = e^x$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 1$;

На отрезке $[-1; 1]$:
$e^x > 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{-1}^1 e^x \, dx = e^x \big|_{-1}^1 = e^1 — e^{-1} = e — \frac{1}{e} = \frac{e^2 — 1}{e};$$

Ответ: $\frac{e^2 — 1}{e}$.

г) $y = e^{-x}$, $y = 0$, $x = -2$, $x = 0$;

На отрезке $[-2; 0]$:
$e^{-x} > 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{-2}^0 e^{-x} \, dx = -e^{-x} \big|_{-2}^0 = -e^0 + e^{-(-2)} = -1 + e^2;$$

Ответ: $e^2 — 1$.

а) $y = e^x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 3$

Шаг 1. Функция $e^x$ определена и положительна на всём промежутке $[0; 3]$, так как $e^x > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$.
Следовательно, график функции лежит выше оси $x$, и можно использовать обычный определённый интеграл.

Шаг 2. Площадь под графиком функции на указанном отрезке равна:

$$S = \int_0^3 e^x\,dx$$

Шаг 3. Найдём первообразную:

$$\int e^x\,dx = e^x$$

Шаг 4. Подставим пределы интегрирования:

$$S = e^x \Big|_0^3 = e^3 — e^0$$

Шаг 5. Упростим:

$$e^0 = 1 \Rightarrow S = e^3 — 1$$

Ответ: $\boxed{e^3 — 1}$

б) $y = e^{-x}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 4$

Шаг 1. Функция $e^{-x}$ также определена и положительна на всём отрезке $[0; 4]$, потому что:

$$e^{-x} = \frac{1}{e^x} > 0 \text{ при любом } x$$

Шаг 2. Площадь под графиком равна:

$$S = \int_0^4 e^{-x}\,dx$$

Шаг 3. Найдём первообразную:

$$\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}$$

Шаг 4. Подставим пределы:

$$S = -e^{-x} \Big|_0^4 = -e^{-4} + e^0 = -\frac{1}{e^4} + 1$$

Шаг 5. Представим результат как дробь:

$$S = \frac{e^4 — 1}{e^4}$$

Ответ: $\boxed{\frac{e^4 — 1}{e^4}}$

в) $y = e^x$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 1$

Шаг 1. Функция $e^x$ положительна при всех значениях $x$, включая отрезок $[-1; 1]$, поскольку экспонента никогда не бывает отрицательной.

Шаг 2. Площадь вычисляется по формуле:

$$S = \int_{-1}^1 e^x\,dx$$

Шаг 3. Первообразная:

$$\int e^x\,dx = e^x$$

Шаг 4. Подставим пределы:

$$S = e^x \Big|_{-1}^1 = e^1 — e^{-1} = e — \frac{1}{e}$$

Шаг 5. Приведём к общему знаменателю:

$$S = \frac{e^2 — 1}{e}$$

Ответ: $\boxed{\frac{e^2 — 1}{e}}$

г) $y = e^{-x}$, $y = 0$, $x = -2$, $x = 0$

Шаг 1. Функция $e^{-x}$ положительна на всём отрезке $[-2; 0]$, поскольку при любом $x$, экспонента не обнуляется и не становится отрицательной.

Шаг 2. Площадь равна:

$$S = \int_{-2}^0 e^{-x} \, dx$$

Шаг 3. Найдём первообразную:

$$\int e^{-x} \, dx = -e^{-x}$$

Шаг 4. Подставим пределы:

$$S = -e^{-x} \Big|_{-2}^0 = -e^0 + e^{-(-2)} = -1 + e^2$$

Шаг 5. Упростим:

$$S = e^2 — 1$$

Ответ: $\boxed{e^2 — 1}$