ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = \sqrt{x}$, $y = -2\sqrt{x}$, $x = 4$;

б) $y = 2\sqrt{x}$, $y = -\sqrt{x}$, $x = 9$

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = \sqrt{x}$, $y = -2\sqrt{x}$, $x = 4$;

Точки пересечения:
$\sqrt{x} = -2\sqrt{x}$;
$3\sqrt{x} = 0$;
$x = 0$;

На отрезке [0; 4]:
$\sqrt{x} \geq -2\sqrt{x}$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{0}^{4} (\sqrt{x} — (-2\sqrt{x})) \, dx = \int_{0}^{4} 3x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left(3 \cdot x^{\frac{3}{2}} : \frac{3}{2}\right)\bigg|_{0}^{4};$$ $$S = 2\sqrt{x^3}\bigg|_{0}^{4} = 2\sqrt{4^3} — 2\sqrt{0^3} = 2 \cdot 4\sqrt{4} — 2 \cdot 0 = 8 \cdot 2 = 16;$$

Ответ: 16.

б) $y = 2\sqrt{x}$, $y = -\sqrt{x}$, $x = 9$;

Точки пересечения:
$2\sqrt{x} = -\sqrt{x}$;
$3\sqrt{x} = 0$;
$x = 0$;

На отрезке [0; 9]:
$2\sqrt{x} \geq -\sqrt{x}$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{0}^{9} (2\sqrt{x} — (-\sqrt{x})) \, dx = \int_{0}^{9} 3x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left(3 \cdot x^{\frac{3}{2}} : \frac{3}{2}\right)\bigg|_{0}^{9};$$ $$S = 2\sqrt{x^3}\bigg|_{0}^{9} = 2\sqrt{9^3} — 2\sqrt{0^3} = 2 \cdot 9\sqrt{9} — 2 \cdot 0 = 18 \cdot 3 = 54;$$

Ответ: 54.

а) $y = \sqrt{x}$, $y = -2\sqrt{x}$, $x = 4$

Шаг 1: Найдём точки пересечения графиков

Для нахождения пределов интегрирования приравниваем функции:

$$\sqrt{x} = -2\sqrt{x}$$

Переносим все в одну часть:

$$\sqrt{x} + 2\sqrt{x} = 0 \Rightarrow 3\sqrt{x} = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$$

Таким образом, графики пересекаются при $x = 0$

Шаг 2: Выбор границ интегрирования

Из условия: справа ограничено прямой $x = 4$.
Значит, интеграл будет от $x = 0$ до $x = 4$

Шаг 3: Определим верхнюю и нижнюю границу

На отрезке $[0; 4]$:

• $\sqrt{x} \geq 0$ — функция положительна
• $-2\sqrt{x} \leq 0$ — функция отрицательна

Следовательно, сверху находится график $y = \sqrt{x}$, а снизу — $y = -2\sqrt{x}$

Шаг 4: Составим выражение для площади

Площадь между двумя кривыми:

$$S = \int_{a}^{b} \left( \text{верхняя} — \text{нижняя} \right)\,dx = \int_0^4 \left( \sqrt{x} — (-2\sqrt{x}) \right)\, dx = \int_0^4 3\sqrt{x} \, dx$$

Шаг 5: Запишем $\sqrt{x}$ как степень

$$\sqrt{x} = x^{1/2} \Rightarrow 3\sqrt{x} = 3x^{1/2}$$

Шаг 6: Найдём первообразную

Используем формулу:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad\text{для } n \ne -1$$

Значит:

$$\int 3x^{1/2} dx = 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = 2x^{3/2}$$

Шаг 7: Вычислим определённый интеграл

$$S = 2x^{3/2} \Big|_0^4 = 2 \cdot 4^{3/2} — 2 \cdot 0^{3/2}$$

Вспомним:

$$4^{3/2} = \left( \sqrt{4} \right)^3 = 2^3 = 8$$ $$S = 2 \cdot 8 — 0 = 16$$

Ответ: $\boxed{16}$

б) $y = 2\sqrt{x}$, $y = -\sqrt{x}$, $x = 9$

Шаг 1: Найдём точку пересечения графиков

$$2\sqrt{x} = -\sqrt{x} \Rightarrow 3\sqrt{x} = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$$

Шаг 2: Границы интегрирования

От $x = 0$ до $x = 9$ (по условию)

Шаг 3: Верхняя и нижняя границы

На этом отрезке:

• $2\sqrt{x} \geq 0$
• $-\sqrt{x} \leq 0$

Верхняя функция: $y = 2\sqrt{x}$
Нижняя функция: $y = -\sqrt{x}$

Шаг 4: Разность функций

$$2\sqrt{x} — (-\sqrt{x}) = 3\sqrt{x}$$

Шаг 5: Площадь через интеграл

$$S = \int_0^9 3\sqrt{x} \, dx = \int_0^9 3x^{1/2} \, dx$$

Шаг 6: Найдём первообразную

$$\int 3x^{1/2} dx = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = 2x^{3/2}$$

Шаг 7: Вычислим интеграл

$$S = 2x^{3/2} \Big|_0^9 = 2 \cdot 9^{3/2} — 2 \cdot 0^{3/2}$$ $$9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27 \Rightarrow S = 2 \cdot 27 = 54$$

Ответ: $\boxed{54}$

Итог:

а) $\boxed{16}$

б) $\boxed{54}$