ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

а) $y=1-x^2$, $y=-x-1$;

б) $y=x^2-3x+2$, $y=x-1$;

в) $y=x^2-1$, $y=2x+2$;

г) $y=-x^2+2x+3$, $y=3-x$

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

а) $y=1-x^2$, $y=-x-1$;

Точки пересечения:
$1-x^2=-x-1$;
$x^2-x-2=0$;
$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9$, тогда:
$x_1=\frac{1-3}{2}=-1$, $x_2=\frac{1+3}{2}=2$;
На отрезке $[-1;2]$:
$1-x^2\ge -x-1$;
Площадь искомой фигуры:

$$S={\int }_{-1}^2((1-x^2)-(-x-1))dx={\int }_{-1}^2(-x^2+x+2)dx;$$$$S=(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x){\mid }_{-1}^2;$$$$S=(-\frac{8}{3}+\frac{4}{2}+4)-(-(-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}-2)=-\frac{8}{3}+2+4-(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2);$$$$S=-\frac{8}{3}+2+4-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2=-\frac{9}{3}+\frac{3}{2}+6=-3+\frac{3}{2}+6=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2};$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{9}{2}}$.

б) $y=x^2-3x+2$, $y=x-1$;

Точки пересечения:
$x^2-3x+2=x-1$;
$x^2-4x+3=0$;
$D=4^2-4\cdot 3=16-12=4$, тогда:
$x_1=\frac{4-2}{2}=1$, $x_2=\frac{4+2}{2}=3$;
На отрезке $[1;3]$:
$x^2-3x+2\le x-1$;
Площадь искомой фигуры:

$$S={\int }_1^3((x-1)-(x^2-3x+2))dx={\int }_1^3(4x-x^2-3)dx;$$$$S=(2x^2-\frac{x^3}{3}-3x){\mid }_1^3;$$$$S=(2\cdot 9-\frac{27}{3}-9)-(2\cdot 1-\frac{1}{3}-3)=(18-9-9)-(2-\frac{1}{3}-3);$$$$S=0-(-1+\frac{1}{3})=0+1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3};$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

в) $y=x^2-1$, $y=2x+2$;

Точки пересечения:
$x^2-1=2x+2$;
$x^2-2x-3=0$;
$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16$, тогда:
$x_1=\frac{2-4}{2}=-1$, $x_2=\frac{2+4}{2}=3$;
На отрезке $[-1;3]$:
$x^2-1\le 2x+2$;
Площадь искомой фигуры:

$$S={\int }_{-1}^3((2x+2)-(x^2-1))dx={\int }_{-1}^3(2x+3-x^2)dx;$$$$S=(x^2+3x-\frac{x^3}{3}){\mid }_{-1}^3;$$$$S=(9+9-\frac{27}{3})-(1-3-(-\frac{1}{3}))=(18-9)-(-2+\frac{1}{3});$$$$S=9+2-\frac{1}{3}=11-\frac{1}{3}=\frac{32}{3};$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{32}{3}}$.

г) $y=-x^2+2x+3$, $y=3-x$;

Точки пересечения:
$-x^2+2x+3=3-x$;
$-x^2+3x=0$;
$x(x-3)=0$;
$x_1=0$, $x_2=3$;
На отрезке $[0;3]$:
$-x^2+2x+3\ge 3-x$;
Площадь искомой фигуры:

$$S={\int }_0^3((-x^2+2x+3)-(3-x))dx={\int }_0^3(-x^2+3x)dx;$$$$S=(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}){\mid }_0^3=(-\frac{27}{3}+\frac{27}{2})-0=-9+\frac{27}{2};$$$$S=\frac{-18+27}{2}=\frac{9}{2};$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{9}{2}}$.

а) $y=1-x^2$, $y=-x-1$

1. Находим точки пересечения:

Приравниваем правые части уравнений:

$$1-x^2=-x-1$$

Переносим все в одну сторону:

$$1-x^2+x+1=0\Rightarrow -x^2+x+2=0$$

Умножаем на $-1$, чтобы старший коэффициент был положительный:

$$x^2-x-2=0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9$$$$x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{9}}{2}=\frac{1-3}{2}=-1,x_2=\frac{1+3}{2}=2$$

2. Определяем, какая функция выше на отрезке $[-1;2]$:

Подставим, например, $x=0$:

• $y_1=1-0=1$
• $y_2=-0-1=-1$

Значит, $y=1-x^2$ выше, а $y=-x-1$ — ниже.

3. Составляем выражение для площади между графиками:

$$S={\int }_{-1}^2[(1-x^2)-(-x-1)]dx={\int }_{-1}^2(-x^2+x+2)dx$$

4. Находим первообразную:

$$\int (-x^2+x+2)dx=-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x$$

5. Подставляем пределы интегрирования:

$$S=(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x){\mid }_{-1}^2=(-\frac{8}{3}+\frac{4}{2}+4)-(-\frac{-1}{3}+\frac{1}{2}-2)$$

Вычислим каждую часть:

• Первая часть:

$$-\frac{8}{3}+2+4=-\frac{8}{3}+6$$

• Вторая часть:

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2=\frac{5}{6}-2=-\frac{7}{6}$$

Всё вместе:

$$S=(-\frac{8}{3}+6)-(-\frac{7}{6})=\left(\frac{10}{3}\right)+\frac{7}{6}=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{9}{2}}$

б) $y=x^2-3x+2$, $y=x-1$

1. Точки пересечения:

$$x^2-3x+2=x-1\Rightarrow x^2-4x+3=0$$$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$$$$x_1=\frac{4-2}{2}=1,x_2=\frac{4+2}{2}=3$$

2. Определим, какая функция выше на $[1;3]$:

Подставим $x=2$:

• $y_1=4-6+2=0$
• $y_2=2-1=1$

Значит, $y=x-1$ выше.

3. Площадь между графиками:

$$S={\int }_1^3[(x-1)-(x^2-3x+2)]dx={\int }_1^3(-x^2+4x-3)dx$$

4. Находим первообразную:

$$\int (-x^2+4x-3)dx=-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x$$

5. Подставим пределы:

$$S=(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x){\mid }_1^3=(-\frac{27}{3}+18-9)-(-\frac{1}{3}+2-3)$$

Вычислим:

• Левая часть: $-9+18-9=0$
• Правая часть: $-\frac{1}{3}+2-3=-\frac{1}{3}-1=-\frac{4}{3}$

$$S=0-(-\frac{4}{3})=\frac{4}{3}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{4}{3}}$

в) $y=x^2-1$, $y=2x+2$

1. Точки пересечения:

$$x^2-1=2x+2\Rightarrow x^2-2x-3=0$$$$D=4+12=16\Rightarrow x_1=\frac{2-4}{2}=-1,x_2=\frac{2+4}{2}=3$$

2. Какая функция выше на $[-1;3]$:

Подставим $x=0$:

• $y_1=0-1=-1$
• $y_2=0+2=2$

Значит, $y=2x+2$ выше.

3. Площадь:

$$S={\int }_{-1}^3[(2x+2)-(x^2-1)]dx={\int }_{-1}^3(-x^2+2x+3)dx$$

4. Первообразная:

$$\int (-x^2+2x+3)dx=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x$$

5. Подставим пределы:

$$S=(-\frac{27}{3}+9+9)-(-\frac{(-1{)}^3}{3}+1+(-3))=(-9+18)-(\frac{1}{3}-2)=$$

$$=9-(-\frac{5}{3})=9+\frac{5}{3}=\frac{27+5}{3}=\frac{32}{3}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{32}{3}}$

г) $y=-x^2+2x+3$, $y=3-x$

1. Точки пересечения:

$$-x^2+2x+3=3-x\Rightarrow -x^2+3x=0\Rightarrow x(x-3)=0\Rightarrow x=0,x=3$$

2. Какая функция выше:

Подставим $x=1$:

• $y_1=-1+2+3=4$
• $y_2=3-1=2$

Значит, $y=-x^2+2x+3$ выше.

3. Площадь:

$$S={\int }_0^3[(-x^2+2x+3)-(3-x)]dx={\int }_0^3(-x^2+3x)dx$$

4. Первообразная:

$$\int (-x^2+3x)dx=-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}$$

5. Подставим пределы:

$$S=(-\frac{27}{3}+\frac{27}{2})-0=-9+\frac{27}{2}=\frac{-18+27}{2}=\frac{9}{2}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{9}{2}}$