ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Используя геометрические соображения, вычислите интеграл:

а)

$${\int }_0^4\sqrt{16-x^2}dx$$

б)

$${\int }_{-5}^0\sqrt{25-x^2}dx$$

Используя геометрические соображения, вычислить интеграл:

а)

$$\int_{0}^{4} \sqrt{16 — x^2} \, dx$$

Преобразуем данную функцию:

$$y = \sqrt{16 — x^2}$$ $$y^2 = 16 — x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 = 16$$

Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = 4$.
Выражение под корнем имеет смысл при:

$$16 — x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \leq 16 \quad \Rightarrow \quad -4 \leq x \leq 4$$

Так как пределы интегрирования: $0 \leq x \leq 4$, и $y \geq 0$, то область под интегралом — это четверть круга.
Площадь круга:

$$S = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$$

Четверть круга:

$$\frac{1}{4} \cdot 16\pi = 4\pi$$

Значит:

$$\int_{0}^{4} \sqrt{16 — x^2} \, dx = 4\pi$$

Ответ: $4\pi$.

б)

$$\int_{-5}^{0} \sqrt{25 — x^2} \, dx$$

Преобразуем функцию:

$$y = \sqrt{25 — x^2}$$ $$y^2 = 25 — x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 = 25$$

Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = 5$.
Выражение под корнем имеет смысл при:

$$25 — x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \leq 25 \quad \Rightarrow \quad -5 \leq x \leq 5$$

Так как пределы интегрирования: $-5 \leq x \leq 0$, и $y \geq 0$, то область под интегралом — это четверть круга.
Площадь круга:

$$S = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$$

Четверть круга:

$$\frac{1}{4} \cdot 25\pi = \frac{25\pi}{4} = 6{,}25\pi$$

Значит:

$$\int_{-5}^{0} \sqrt{25 — x^2} \, dx = \frac{25\pi}{4}$$

Ответ: $\frac{25\pi}{4}$ или $6{,}25\pi$.

Используя геометрические соображения, вычислить интеграл:

а)

$$\int_{0}^{4} \sqrt{16 — x^2} \, dx$$

Рассмотрим подынтегральную функцию:

$$y = \sqrt{16 — x^2}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$y^2 = 16 — x^2$$

Переносим $x^2$ влево:

$$x^2 + y^2 = 16$$

Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом

$$R = \sqrt{16} = 4$$

Следовательно, подынтегральная функция $y = \sqrt{16 — x^2}$ задаёт верхнюю полукруглую дугу этой окружности.

Проверим область определения подынтегральной функции:

$$\sqrt{16 — x^2} \text{ определена при } 16 — x^2 \geq 0$$ $$x^2 \leq 16$$ $$-4 \leq x \leq 4$$

Задан интеграл по отрезку от $x = 0$ до $x = 4$, то есть рассматривается четверть окружности, находящаяся в первой четверти координатной плоскости: $x \geq 0$, $y \geq 0$.

Площадь круга радиуса $4$ равна:

$$S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$$

Так как рассматривается четверть круга:

$$S_{\text{четверти}} = \frac{1}{4} \cdot 16\pi = 4\pi$$

Геометрически, значение данного определённого интеграла совпадает с площадью этой четверти круга, так как интеграл $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$ при $f(x) \geq 0$ вычисляет площадь под графиком функции и над осью $x$.

Следовательно:

$$\int_{0}^{4} \sqrt{16 — x^2} \, dx = 4\pi$$

Ответ: $4\pi$

б)

$$\int_{-5}^{0} \sqrt{25 — x^2} \, dx$$

Рассмотрим подынтегральную функцию:

$$y = \sqrt{25 — x^2}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$y^2 = 25 — x^2$$

Переносим $x^2$ влево:

$$x^2 + y^2 = 25$$

Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом

$$R = \sqrt{25} = 5$$

Следовательно, функция $y = \sqrt{25 — x^2}$ описывает верхнюю полукруглую дугу окружности радиуса 5.

Проверим область определения подынтегральной функции:

$$\sqrt{25 — x^2} \text{ определена при } 25 — x^2 \geq 0$$ $$x^2 \leq 25$$ $$-5 \leq x \leq 5$$

Интеграл берется по отрезку $x \in [-5, 0]$, то есть рассматривается часть круга во второй четверти: $x \leq 0$, $y \geq 0$. Это также четверть круга.

Площадь круга радиуса 5:

$$S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$$

Четверть круга:

$$S_{\text{четверти}} = \frac{1}{4} \cdot 25\pi = \frac{25\pi}{4}$$

Следовательно, по геометрическому смыслу определённого интеграла:

$$\int_{-5}^{0} \sqrt{25 — x^2} \, dx = \frac{25\pi}{4}$$

Также можно записать:

$$\frac{25\pi}{4} = 6{,}25\pi$$

Ответ: $\frac{25\pi}{4}$ или $6{,}25\pi$