ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\int_{0}^{4} \sqrt{4x — x^2} \, dx$$

б)

$${\int }_{-1}^0\sqrt{-x^2-2x}dx$$

Используя геометрические соображения, вычислить интеграл:

а)

$$\int_{0}^{4} \sqrt{4x — x^2} \, dx$$

Преобразуем данную функцию:

$$y = \sqrt{4x — x^2}$$ $$y^2 = 4x — x^2$$

Переносим все члены в левую часть и приводим к квадрату разности:

$$x^2 — 4x + 4 + y^2 = 4$$ $$(x — 2)^2 + y^2 = 4$$

Дано уравнение окружности:

$$x_0 = 2, \quad y_0 = 0, \quad R = 2$$

Выражение имеет смысл при:

$$4x — x^2 \geq 0$$ $$x^2 — 4x \leq 0$$ $$x(x — 4) \leq 0$$ $$0 \leq x \leq 4$$

Значит, имеется половина круга при:

$$0 \leq x \leq 4, \quad y \geq 0$$

Значение интеграла:

$$\int_{0}^{4} \sqrt{4x — x^2} \, dx = \frac{1}{2} S = \frac{1}{2} \cdot \pi R^2 = \frac{\pi \cdot 2^2}{2} = 2\pi$$

Ответ: $2\pi$

б)

$$\int_{-1}^{0} \sqrt{-x^2 — 2x} \, dx$$

Преобразуем данную функцию:

$$y = \sqrt{-x^2 — 2x}$$ $$y^2 = -x^2 — 2x$$

Приводим к квадрату суммы:

$$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 1$$ $$(x + 1)^2 + y^2 = 1$$

Дано уравнение окружности:

$$x_0 = -1, \quad y_0 = 0, \quad R = 1$$

Выражение имеет смысл при:

$$-x^2 — 2x \geq 0$$ $$x^2 + 2x \leq 0$$ $$x(x + 2) \leq 0$$ $$-2 \leq x \leq 0$$

Значит, имеется четверть круга при:

$$-1 \leq x \leq 0, \quad y \geq 0$$

Значение интеграла:

$$\int_{-1}^{0} \sqrt{-x^2 — 2x} \, dx = \frac{1}{4} S = \frac{1}{4} \cdot \pi R^2 = \frac{\pi \cdot 1^2}{4} = \frac{\pi}{4}$$

Ответ: $\frac{\pi }{4}$$\frac{\pi}{4}$

а)

$$\int_0^4 \sqrt{4x — x^2} \, dx$$

Шаг 1: Подынтегральное выражение

Рассмотрим подынтегральную функцию:

$$y = \sqrt{4x — x^2}$$

Чтобы понять геометрический смысл функции, возведем обе части в квадрат:

$$y^2 = 4x — x^2$$

Шаг 2: Приведение выражения к уравнению окружности

Перепишем правую часть:

$$y^2 = -x^2 + 4x$$

Перенесем всё в левую часть и выделим полный квадрат:

$$x^2 — 4x + y^2 = 0$$

Добавим и вычтем 4:

$$x^2 — 4x + 4 + y^2 = 4$$

Сгруппируем:

$$(x — 2)^2 + y^2 = 4$$

Шаг 3: Геометрический смысл

Это уравнение окружности с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом

$$R = \sqrt{4} = 2$$

Значит, график функции

$$y = \sqrt{4x — x^2}$$

представляет собой верхнюю полуокружность радиуса 2, с центром в $(2, 0)$.

Шаг 4: Область определения подынтегральной функции

Рассмотрим, при каких значениях $x$ подынтегральное выражение имеет смысл (то есть, неотрицательно подкоренное выражение):

$$4x — x^2 \geq 0$$

Переносим всё влево:

$$x^2 — 4x \leq 0$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(x — 4) \leq 0$$

Это квадратное неравенство. Оно выполняется при:

$$0 \leq x \leq 4$$

Значит, функция определена на отрезке $[0, 4]$, что совпадает с пределами интегрирования.

Шаг 5: Геометрическая интерпретация

Мы выяснили, что:

• График функции — верхняя половина окружности радиуса 2
• Центр окружности: $(2, 0)$
• Полный диаметр: от $x = 0$ до $x = 4$

Следовательно, график ограничивает верхнюю половину круга радиуса 2.

Площадь круга:

$$S = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$$

Так как мы рассматриваем половину круга, то её площадь:

$$\frac{1}{2} S = \frac{1}{2} \cdot 4\pi = 2\pi$$

Шаг 6: Вывод значения интеграла

Интеграл $\int_0^4 \sqrt{4x — x^2} \, dx$ вычисляет площадь области под графиком функции и над осью $x$, то есть — половину круга.

$$\int_0^4 \sqrt{4x — x^2} \, dx = 2\pi$$

Ответ: $2\pi$

б)

$$\int_{-1}^{0} \sqrt{-x^2 — 2x} \, dx$$

Шаг 1: Подынтегральное выражение

Рассмотрим функцию:

$$y = \sqrt{-x^2 — 2x}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$y^2 = -x^2 — 2x$$

Шаг 2: Приведение выражения к уравнению окружности

Перенесем всё влево:

$$x^2 + 2x + y^2 = 0$$

Добавим и вычтем 1:

$$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 1$$

Сгруппируем:

$$(x + 1)^2 + y^2 = 1$$

Шаг 3: Геометрический смысл

Это уравнение окружности с центром в точке $(-1, 0)$ и радиусом

$$R = \sqrt{1} = 1$$

График функции

$$y = \sqrt{-x^2 — 2x}$$

описывает верхнюю полуокружность радиуса 1 с центром в $(-1, 0)$.

Шаг 4: Область определения функции

Исследуем выражение под корнем:

$$-x^2 — 2x \geq 0$$

Умножим неравенство на $-1$ (не забывая изменить знак неравенства):

$$x^2 + 2x \leq 0$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(x + 2) \leq 0$$

Это неравенство выполняется при:

$$-2 \leq x \leq 0$$

Но интеграл берется от $-1$ до $0$, что полностью входит в область определения.

Шаг 5: Геометрическая интерпретация

Мы установили:

• Окружность радиуса 1, центр $(-1, 0)$
• Верхняя полуокружность
• Пределы интегрирования от $-1$ до $0$

Это соответствует четверти круга (левая верхняя четверть).

Площадь круга:

$$S = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$$

Четверть круга:

$$\frac{1}{4} S = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 6: Вывод значения интеграла

Поскольку интеграл вычисляет площадь под графиком функции на отрезке $[-1, 0]$, и это именно четверть круга:

$$\int_{-1}^{0} \sqrt{-x^2 — 2x} \, dx = \frac{\pi}{4}$$

Ответ: $\frac{\pi}{4}$