ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\int_0^1 e^x \, dx = e^x \big|_0^1 = e^1 — e^0 = e — 1$$

б)

$$\int_{-1}^1 3e^x \, dx = 3e^x \big|_{-1}^1 = 3e^1 — 3e^{-1} = 3e — \frac{3}{e}$$

в)

$$\int_{-1}^0 \frac{1}{2}e^x \, dx = \frac{1}{2}e^x \big|_{-1}^0 = \frac{1}{2}e^0 — \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{1}{2} — \frac{1}{2e} = \frac{e — 1}{2e}$$

г)

$${\int }_{-2}^1-2e^{x}dx$$

Вычислить определенный интеграл:

а)

$$\int_0^1 e^x \, dx = e^x \big|_0^1 = e^1 — e^0 = e — 1$$

Ответ: $e — 1$

б)

$$\int_{-1}^1 3e^x \, dx = 3e^x \big|_{-1}^1 = 3e^1 — 3e^{-1} = 3e — \frac{3}{e}$$

Ответ: $3e — \frac{3}{e}$

в)

$$\int_{-1}^0 \frac{1}{2}e^x \, dx = \frac{1}{2}e^x \big|_{-1}^0 = \frac{1}{2}e^0 — \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{1}{2} — \frac{1}{2e} = \frac{e — 1}{2e}$$

Ответ: $\frac{e — 1}{2e}$

г)

$$\int_{-2}^1 -2e^x \, dx = -2e^x \big|_{-2}^1 = -2e^1 — (-2e^{-2}) = \frac{2}{e^2} — 2e = \frac{2 — 2e^3}{e^2}$$

Ответ: $\frac{2 — 2e^3}{e^2}$

а)

$$\int_0^1 e^x \, dx$$

Шаг 1: Найдём первообразную функции $e^x$:

$$\int e^x \, dx = e^x + C$$

(постоянную $C$ не учитываем, так как мы считаем определённый интеграл)

Шаг 2: Применяем формулу Ньютона–Лейбница:

$$\int_0^1 e^x \, dx = \left. e^x \right|_0^1 = e^1 — e^0$$

Шаг 3: Вычисляем значения:

$$e^1 = e,\quad e^0 = 1$$

Шаг 4: Вычисляем разность:

$$e — 1$$

Ответ:

$$\boxed{e — 1}$$

б)

$$\int_{-1}^1 3e^x \, dx$$

Шаг 1: Вынесем константу за знак интеграла:

$$3 \int_{-1}^1 e^x \, dx$$

Шаг 2: Первообразная $e^x$ — та же самая:

$$\int e^x \, dx = e^x$$

Шаг 3: Подставляем пределы:

$$3 \left( e^1 — e^{-1} \right)$$

Шаг 4: Упрощаем:

$$3e — \frac{3}{e}$$

Ответ:

$$\boxed{3e — \frac{3}{e}}$$

в)

$$\int_{-1}^0 \frac{1}{2}e^x \, dx$$

Шаг 1: Вынесем множитель $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2} \int_{-1}^0 e^x \, dx$$

Шаг 2: Первообразная:

$$\int e^x \, dx = e^x$$

Шаг 3: Подставляем пределы:

$$\frac{1}{2} \left( e^0 — e^{-1} \right)$$

Шаг 4: Вычисляем:

$$\frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{e} \right) = \frac{e — 1}{2e}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{e — 1}{2e}}$$

г)

$$\int_{-2}^1 -2e^x \, dx$$

Шаг 1: Вынесем множитель $-2$:

$$-2 \int_{-2}^1 e^x \, dx$$

Шаг 2: Первообразная:

$$\int e^x \, dx = e^x$$

Шаг 3: Подставляем пределы:

$$-2 \left( e^1 — e^{-2} \right)$$

Шаг 4: Раскрываем скобки:

$$-2e + 2e^{-2} = \frac{2}{e^2} — 2e$$

Шаг 5: Приводим к общему знаменателю (по желанию, как в условии):

$$\frac{2}{e^2} — 2e = \frac{2 — 2e^3}{e^2}$$

(домножили числитель и знаменатель второго слагаемого на $e^2$)

Ответ:

$$\boxed{\frac{2 — 2e^3}{e^2}}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{e — 1}$
б) $\boxed{3e — \frac{3}{e}}$
в) $\boxed{\frac{e — 1}{2e}}$
г) $\boxed{\frac{2 — 2e^3}{e^2}}$