ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой v = v(t) (время измеряется в секундах, а скорость — в сантиметрах в секунду). Какой путь пройдёт точка за 3 секунды, считая от начала движения (t = 0)?

а) $v(t) = 3t^2 — 4t + 1$

б) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{5t + 1}} = (5t + 1)^{-\frac{1}{2}}$

в) $v(t) = 4t^3 — 6t^2$

г) $v(t)=\frac{1}{\sqrt{7t+4}}$

Скорость материальной точки задана формулой $v = v(t)$;
Какой путь пройдёт точка за промежуток времени от $t = 0$ до $t = 3$:

а) $v(t) = 3t^2 — 4t + 1$

Закон перемещения точки:

$$S(t) = 3 \cdot \frac{t^3}{3} — 4 \cdot \frac{t^2}{2} + t = t^3 — 2t^2 + t$$

Пройденный путь:

$$l = \int_0^3 v(t)\,dx = (t^3 — 2t^2 + t) \big|_0^3$$ $$l = 3^3 — 2 \cdot 3^2 + 3 = 27 — 18 + 3 = 12$$

Ответ: $\boxed{12}$ см

б) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{5t + 1}} = (5t + 1)^{-\frac{1}{2}}$

Закон перемещения точки:

$$S(t) = \frac{1}{5} \cdot (5t + 1)^{\frac{1}{2}} : \frac{1}{2} = \frac{2}{5} \sqrt{5t + 1}$$

Пройденный путь:

$$l = \int_0^3 v(t)\,dx = \frac{2}{5} \sqrt{5t + 1} \big|_0^3$$ $$l = \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1} — \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 0 + 1}$$ $$l = \frac{2\sqrt{16}}{5} — \frac{2}{5} = \frac{8 — 2}{5} = \frac{6}{5} = 1{,}2$$

Ответ: $\boxed{1{,}2}$ см

в) $v(t) = 4t^3 — 6t^2$

Закон перемещения точки:

$$S(t) = 4 \cdot \frac{t^4}{4} — 6 \cdot \frac{t^3}{3} = t^4 — 2t^3$$

Пройденный путь:

$$l = \int_0^3 v(t)\,dx = (t^4 — 2t^3) \big|_0^3$$ $$l = 3^4 — 2 \cdot 3^3 = 81 — 54 = 27$$

Ответ: $\boxed{27}$ см

г) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{7t + 4}} = (7t + 4)^{-\frac{1}{2}}$

Закон перемещения точки:

$$S(t) = \frac{1}{7} \cdot (7t + 4)^{\frac{1}{2}} : \frac{1}{2} = \frac{2}{7} \sqrt{7t + 4}$$

Пройденный путь:

$$l = \int_0^3 v(t)\,dx = \frac{2}{7} \sqrt{7t + 4} \big|_0^3$$ $$l = \frac{2}{7} \sqrt{7 \cdot 3 + 4} — \frac{2}{7} \sqrt{7 \cdot 0 + 4}$$ $$l = \frac{2 \cdot \sqrt{25}}{7} — \frac{2 \cdot \sqrt{4}}{7} = \frac{2 \cdot 5 — 2 \cdot 2}{7} = \frac{10 — 4}{7} = \frac{6}{7}$$

Ответ: $\boxed{\frac{6}{7}}$ см

Найти путь, пройденный материальной точкой за 3 секунды (от $t = 0$ до $t = 3$),
если её скорость дана в виде функции $v(t)$. Единицы:
время — в секундах,
скорость — в см/с,
значит путь — в сантиметрах.

а) $v(t) = 3t^2 — 4t + 1$

Шаг 1: Записываем определение пути через интеграл скорости

$$l = \int_0^3 v(t)\,dt = \int_0^3 (3t^2 — 4t + 1)\,dt$$

Шаг 2: Интегрируем каждый член

$$\int 3t^2 \, dt = 3 \cdot \frac{t^3}{3} = t^3,\quad \int -4t \, dt = -4 \cdot \frac{t^2}{2} = -2t^2,\quad \int 1\, dt = t$$ $$\Rightarrow \int (3t^2 — 4t + 1)\,dt = t^3 — 2t^2 + t$$

Шаг 3: Подставляем пределы от 0 до 3

$$l = [t^3 — 2t^2 + t]_0^3 = (27 — 18 + 3) — (0 — 0 + 0) = 12$$

Ответ:

$$\boxed{12\ \text{см}}$$

б) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{5t + 1}}$

Шаг 1: Переписываем под корнем в степени

$$v(t) = (5t + 1)^{-1/2}$$ $$l = \int_0^3 (5t + 1)^{-1/2}\,dt$$

Шаг 2: Интегрируем по формуле:

$$\int (at + b)^n dt = \frac{(at + b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$$

Тут: $a = 5$, $b = 1$, $n = -\frac{1}{2}$

$$\Rightarrow \int (5t + 1)^{-1/2}\,dt = \frac{(5t + 1)^{1/2}}{5 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2}{5} \sqrt{5t + 1}$$

Шаг 3: Подставляем пределы

$$l = \left[\frac{2}{5} \sqrt{5t + 1}\right]_0^3 = \frac{2}{5} \left(\sqrt{16} — \sqrt{1} \right) = \frac{2}{5}(4 — 1) = \frac{6}{5} = 1{,}2$$

Ответ:

$$\boxed{1{,}2\ \text{см}}$$

в) $v(t) = 4t^3 — 6t^2$

Шаг 1: Записываем интеграл

$$l = \int_0^3 (4t^3 — 6t^2) \, dt$$

Шаг 2: Интегрируем каждый член

$$\int 4t^3 \, dt = 4 \cdot \frac{t^4}{4} = t^4,\quad \int -6t^2 \, dt = -6 \cdot \frac{t^3}{3} = -2t^3$$ $$\Rightarrow \int (4t^3 — 6t^2)\,dt = t^4 — 2t^3$$

Шаг 3: Подставляем пределы

$$l = [t^4 — 2t^3]_0^3 = (81 — 54) — 0 = 27$$

Ответ:

$$\boxed{27\ \text{см}}$$

г) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{7t + 4}}$

Шаг 1: Переписываем в виде степени

$$v(t) = (7t + 4)^{-1/2}$$ $$l = \int_0^3 (7t + 4)^{-1/2} \, dt$$

Шаг 2: Интегрируем по формуле

$$\int (7t + 4)^{-1/2} dt = \frac{(7t + 4)^{1/2}}{7 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2}{7} \sqrt{7t + 4}$$

Шаг 3: Подставляем пределы

$$l = \left[ \frac{2}{7} \sqrt{7t + 4} \right]_0^3 = \frac{2}{7} \left( \sqrt{25} — \sqrt{4} \right) = \frac{2}{7}(5 — 2) = \frac{6}{7}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{6}{7}\ \text{см}}$$

Окончательные ответы:

а) $\boxed{12}$ см
б) $\boxed{1{,}2}$ см
в) $\boxed{27}$ см
г) $\boxed{\frac{6}{7}}$ см