ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Дан прямолинейный стержень длиной l. Он неоднороден, и его плотность в точке, удалённой от левого конца на х, 0 ≤ х ≤ l, определяется по формуле р = р(х). Найдите массу стержня, если:

а) $\rho(x) = x^2 — x + 1$, $l = 6$;

б) $\rho(x) = \frac{1}{(x+3)^2}$, $l = 3$;

в) $\rho(x) = -x^2 + 6x$, $l = 2$;

г) $\rho(x) = \frac{1}{(2x+1)^2}$, $l = 1$

Плотность прямолинейного стержня длиной $l$ в точке, удаленной от левого конца на $x$, определяется по формуле $\rho = \rho(x)$, найти массу стержня, если:

а) $\rho(x) = x^2 — x + 1$, $l = 6$;
Масса стержня:

$$m={\int }_0^6(x^2-x+1)dx=(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x){\mid }_0^6;$$

$$m = \int_0^6 (x^2 — x + 1) \, dx = \left( \frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2} + x \right)\Big|_0^6;$$ $$m = \frac{6^3}{3} — \frac{6^2}{2} + 6 = \frac{216}{3} — \frac{36}{2} + 6 = 72 — 18 + 6 = 60;$$

Ответ: 60.

б) $\rho(x) = \frac{1}{(x+3)^2}$, $l = 3$;
Масса стержня:

$$m={\int }_0^3\frac{1}{(x+3{)}^2}dx={\int }_0^3(x+3{)}^{-2}dx={\frac{(x+3{)}^{-1}}{-1}\mid }_0^3;$$

$$m = \int_0^3 \frac{1}{(x+3)^2} \, dx = \int_0^3 (x+3)^{-2} \, dx = \left. \frac{(x+3)^{-1}}{-1} \right|_0^3;$$ $$m = -\frac{1}{x+3}\Big|_0^3 = -\frac{1}{3+3} + \frac{1}{0+3} = \frac{1}{3} — \frac{1}{6} = \frac{2}{6} — \frac{1}{6} = \frac{1}{6};$$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

в) $\rho(x) = -x^2 + 6x$, $l = 2$;
Масса стержня:

$$m={\int }_0^2(-x^2+6x)dx=(-\frac{x^3}{3}+6\cdot \frac{x^2}{2}){\mid }_0^2=(3x^2-\frac{x^3}{3}){\mid }_0^2;$$

$$m = \int_0^2 (-x^2 + 6x) \, dx = \left( -\frac{x^3}{3} + 6 \cdot \frac{x^2}{2} \right)\Big|_0^2 = \left( 3x^2 — \frac{x^3}{3} \right)\Big|_0^2;$$ $$m = 3 \cdot 2^2 — \frac{2^3}{3} = 12 — \frac{8}{3} = \frac{36}{3} — \frac{8}{3} = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3};$$

Ответ: $9\frac{1}{3}$.

г) $\rho(x) = \frac{1}{(2x+1)^2}$, $l = 1$;
Масса стержня:

$$m={\int }_0^1\frac{1}{(2x+1{)}^2}dx={\int }_0^1(2x+1{)}^{-2}dx=\frac{1}{2}\cdot {\frac{(2x+1{)}^{-1}}{-1}\mid }_0^1;$$

$$m = \int_0^1 \frac{1}{(2x+1)^2} \, dx = \int_0^1 (2x+1)^{-2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \left. \frac{(2x+1)^{-1}}{-1} \right|_0^1;$$ $$m=-\frac{1}{2(2x+1)}{\mid }_0^1=-\frac{1}{2(2\cdot 1+1)}+\frac{1}{2(2\cdot 0+1)}=-\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 1}=$$

$$m = -\frac{1}{2(2x+1)}\Big|_0^1 = -\frac{1}{2(2 \cdot 1 + 1)} + \frac{1}{2(2 \cdot 0 + 1)} = -\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} — \frac{1}{6} = \frac{3}{6} — \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};$$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

Плотность прямолинейного стержня длиной $l$ в точке, удаленной от левого конца на $x$, определяется по формуле $\rho = \rho(x)$. Найти массу стержня, если:

а) $\rho(x) = x^2 — x + 1$, $l = 6$

Масса стержня вычисляется по формуле:

$$m = \int_0^l \rho(x) \, dx$$

Подставим значения:

$$m = \int_0^6 (x^2 — x + 1) \, dx$$

Выполним почленное интегрирование:

$$\int (x^2 — x + 1) \, dx = \int x^2 \, dx — \int x \, dx + \int 1 \, dx$$

Результаты отдельных интегралов:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int x \, dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int 1 \, dx = x$$

Подставим обратно:

$$\int (x^2 — x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2} + x$$

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 6:

$$m = \left( \frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2} + x \right)\Big|_0^6$$

Подставим верхний предел:

$$\frac{6^3}{3} — \frac{6^2}{2} + 6 = \frac{216}{3} — \frac{36}{2} + 6 = 72 — 18 + 6 = 60$$

Подставим нижний предел:

$$\frac{0^3}{3} — \frac{0^2}{2} + 0 = 0 — 0 + 0 = 0$$

Вычтем:

$$m = 60 — 0 = 60$$

Ответ: 60

б) $\rho(x) = \frac{1}{(x+3)^2}$, $l = 3$

Масса стержня:

$$m = \int_0^3 \frac{1}{(x+3)^2} \, dx$$

Представим подынтегральную функцию как степень:

$$= \int_0^3 (x+3)^{-2} \, dx$$

Интеграл от степени:

$$\int (x+3)^{-2} \, dx = \frac{(x+3)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x+3}$$

Теперь применим пределы от 0 до 3:

$$m = \left. -\frac{1}{x+3} \right|_0^3 = -\frac{1}{3+3} + \frac{1}{0+3} = -\frac{1}{6} + \frac{1}{3}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}, \quad \frac{2}{6} — \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$$

Ответ: $\frac{1}{6}$

в) $\rho(x) = -x^2 + 6x$, $l = 2$

Масса стержня:

$$m = \int_0^2 (-x^2 + 6x) \, dx$$

Разделим на два интеграла:

$$= \int_0^2 -x^2 \, dx + \int_0^2 6x \, dx$$

Посчитаем каждый:

$$\int -x^2 \, dx = -\frac{x^3}{3}, \quad \int 6x \, dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2$$

Подставим:

$$\int_0^2 (-x^2 + 6x) \, dx = \left( -\frac{x^3}{3} + 3x^2 \right)\Big|_0^2$$

Верхний предел:

$$-\frac{2^3}{3} + 3 \cdot 2^2 = -\frac{8}{3} + 12$$

Приведём к общему знаменателю:

$$12 = \frac{36}{3}, \quad \frac{36}{3} — \frac{8}{3} = \frac{28}{3}$$

Нижний предел:

$$x = 0: \quad -\frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2 = 0$$

Разность:

$$m = \frac{28}{3} — 0 = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}$$

Ответ: $9\frac{1}{3}$

г) $\rho(x) = \frac{1}{(2x+1)^2}$, $l = 1$

Масса стержня:

$$m = \int_0^1 \frac{1}{(2x+1)^2} \, dx$$

Запишем как степень:

$$= \int_0^1 (2x+1)^{-2} \, dx$$

Для такого выражения применим замену:

$$\int (2x+1)^{-2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{2(2x+1)}$$

Теперь подставим пределы:

$$m = \left. -\frac{1}{2(2x+1)} \right|_0^1 = -\frac{1}{2(2 \cdot 1 + 1)} + \frac{1}{2(2 \cdot 0 + 1)} = -\frac{1}{6} + \frac{1}{2}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}, \quad \frac{3}{6} — \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Ответ: $\frac{1}{3}$