ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

На числовой окружности укажите точку M, координаты которой удовлетворяют данным условиям, и найдите все числа, которым соответствует эта точка:

а) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \; x < 0$;

б) $y = \frac{1}{2}, \; x < 0$;

в) $y = \frac{1}{2}, \; x > 0$;

г) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \; x > 0$

На числовой окружности указать точку $M$, координаты которой удовлетворяют данным условиям, и найти соответствующие числа.

а) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \; x < 0$;

Подходящая точка:
$M\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M\left(\frac{4\pi}{3}\right);$

Ответ: $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n.$

б) $y = \frac{1}{2}, \; x < 0$;

Подходящая точка:
$M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M\left(\frac{5\pi}{6}\right);$

Ответ: $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$

в) $y = \frac{1}{2}, \; x > 0$;

Подходящая точка:
$M\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M\left(\frac{\pi}{6}\right);$

Ответ: $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$

г) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \; x > 0$;

Подходящая точка:
$M\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M\left(\frac{5\pi}{3}\right);$

Ответ: $t = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$

Что такое «числовая окружность» и как связаны $x,y,t$

• Рассматривается единичная окружность $x^2+y^2=1$.
• Каждой точке $M$ на окружности соответствует параметр (угол) $t$, отсчитанный от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки.
• При этом

  $$x=\cos t,\qquad y=\sin t.$$

• Периодичность: если $t_0$ — какой-то подходящий угол, то все углы

  $$t=t_0+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

  задают ту же самую точку $M$.

Ориентиры по четвертям

Знаки $\cos t$ и $\sin t$ по четвертям:

• I четверть: $x>0,\,y>0$ $\Rightarrow$ $\cos t>0,\ \sin t>0$.
• II четверть: $x<0,\,y>0$ $\Rightarrow$ $\cos t<0,\ \sin t>0$.
• III четверть: $x<0,\,y<0$ $\Rightarrow$ $\cos t<0,\ \sin t<0$.
• IV четверть: $x>0,\,y<0$ $\Rightarrow$ $\cos t>0,\ \sin t<0$.

Полезные «эталонные» значения

Из треугольника $30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ$:

$$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},\quad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2};\qquad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}.$$

Отрицательные значения появляются в четвертях, где соответствующая функция отрицательна.

а) $y=-\dfrac{\sqrt3}{2},\ x<0$

Условие на $y$: $\sin t=-\dfrac{\sqrt3}{2}$.
Эталонный острый угол для $|\sin t|=\dfrac{\sqrt3}{2}$ — это $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$.

По знаку $\sin t<0$ это либо III, либо IV четверть.
Дополнительное условие $x<0$ означает $\cos t<0$ $\Rightarrow$ III четверть.

В III четверти соответствующий угол:

$$t=\pi+\alpha=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.$$

Проверка координат:

$$\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12,\quad \sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow M\!\left(-\frac12;\,-\frac{\sqrt3}{2}\right),$$

как и требовалось.

С учётом периодичности:

$$\boxed{t=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.}$$

Подходящая точка:

$$M\!\left(-\frac12;\,-\frac{\sqrt3}{2}\right)=M\!\left(\frac{4\pi}{3}\right).$$

б) $y=\dfrac{1}{2},\ x<0$

$\sin t=\dfrac12$. Эталонный острый $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$.

$\sin t>0$ $\Rightarrow$ I или II четверть. Условие $x<0\Rightarrow \cos t<0$ $\Rightarrow$ II четверть.

В II четверти:

$$t=\pi-\alpha=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.$$

Проверка:

$$\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin\frac{5\pi}{6}=\frac12 \Rightarrow M\!\left(-\frac{\sqrt3}{2};\,\frac12\right).$$

Общий ответ:

$$\boxed{t=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.}$$

Подходящая точка:

$$M\!\left(-\frac{\sqrt3}{2};\,\frac12\right)=M\!\left(\frac{5\pi}{6}\right).$$

в) $y=\dfrac{1}{2},\ x>0$

$\sin t=\dfrac12\Rightarrow \alpha=\dfrac{\pi}{6}$.

$\sin t>0\Rightarrow$ I или II четверть. Но $x>0\Rightarrow \cos t>0$ $\Rightarrow$ I четверть.

В I четверти просто:

$$t=\alpha=\frac{\pi}{6}.$$

Проверка:

$$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin\frac{\pi}{6}=\frac12 \Rightarrow M\!\left(\frac{\sqrt3}{2};\,\frac12\right).$$

Общий ответ:

$$\boxed{t=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.}$$

Подходящая точка:

$$M\!\left(\frac{\sqrt3}{2};\,\frac12\right)=M\!\left(\frac{\pi}{6}\right).$$

г) $y=-\dfrac{\sqrt3}{2},\ x>0$

$\sin t=-\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow \alpha=\dfrac{\pi}{3}$.

$\sin t<0\Rightarrow$ III или IV четверть. Но $x>0\Rightarrow \cos t>0$ $\Rightarrow$ IV четверть.

В IV четверти:

$$t=2\pi-\alpha=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.$$

Проверка:

$$\cos\frac{5\pi}{3}=\frac12,\quad \sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow M\!\left(\frac12;\,-\frac{\sqrt3}{2}\right).$$

Общий ответ:

$$\boxed{t=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.}$$

Подходящая точка:

$$M\!\left(\frac12;\,-\frac{\sqrt3}{2}\right)=M\!\left(\frac{5\pi}{3}\right).$$