ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Укажите знаки абсциссы и ординаты точки числовой окружности:

а) М(12);

б) N(15);

в) Р(52);

г) Q(100).

Указать знаки абсциссы и ординаты точки числовой окружности.

а) $M(12)$;

$3,1 < \pi < 3,2$;

$10,85 < \frac{7\pi}{2} < 11,2$;

$12,4 < 4\pi < 12,8$;

$\frac{7\pi}{2} < 12 < 4\pi$;

$\frac{3\pi}{2} < 12 — 2\pi < 2\pi$;

Ответ: $(+; -)$.

б) $N(15)$;

$3,1 < \pi < 3,2$;

$13,95 < \frac{9\pi}{2} < 14,4$;

$15,5 < 5\pi < 16$;

$\frac{9\pi}{2} < 15 < 5\pi$;

$\frac{\pi}{2} < 15 — 4\pi < \pi$;

Ответ: $(-; +)$.

в) $P(52)$;

$3,14 < \pi < 3,15$;

$51,81 < \frac{33\pi}{2} < 51,975$;

$53,38 < 17\pi < 53,55$;

$\frac{33\pi}{2} < 52 < 17\pi$;

$\frac{\pi}{2} < 52 — 16\pi < \pi$;

Ответ: $(-; +)$.

г) $Q(100)$;

$3,14 < \pi < 3,15$;

$98,91 < \frac{63\pi}{2} < 99,225$;

$100,48 < 32\pi < 100,8$;

$\frac{63\pi}{2} < 100 < 32\pi$;

$\frac{3\pi}{2} < 100 — 30\pi < 2\pi$;

Ответ: $(+; -)$.

Ключевая идея

• Точка числовой окружности с параметром $t$ имеет координаты $(x,y)=(\cos t,\ \sin t)$.
• Знаки $\cos t$ и $\sin t$ зависят только от четверти, в которую попадает угол $t$, приведённый по модулю $2\pi$:
  найдём $\bar t\in(0,2\pi)$, где $\bar t\equiv t\pmod{2\pi}$, и сравним $\bar t$ с $0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi$.
• Периодичность: можно вычитать (или прибавлять) $2\pi$, $4\pi$, $6\pi$, … так, чтобы попасть в промежуток $(0,2\pi)$.
• Знаки по четвертям:
  • I четверть $(0,\frac{\pi}{2})$: $(+,+)$
  • II четверть $(\frac{\pi}{2},\pi)$: $(-,+)$
  • III четверть $(\pi,\frac{3\pi}{2})$: $(-,-)$
  • IV четверть $(\frac{3\pi}{2},2\pi)$: $(+,-)$

Далее аккуратно докажем для каждого $t$ нужное неравенство через грубые оценки $\pi$ (как в исходном тексте), приведём $t$ по модулю $2\pi$ и определим четверть.

а) $M(12)$

Шаг 1. Оценки для $\pi$ и нужных кратных

Дано: $3{,}1<\pi<3{,}2$.

Отсюда:

• $\displaystyle \frac{7\pi}{2}$ лежит между $\frac{7\cdot3{,}1}{2}=10{,}85$ и $\frac{7\cdot3{,}2}{2}=11{,}2$, то есть
  $\displaystyle 10{,}85<\frac{7\pi}{2}<11{,}2$.
• $4\pi$ лежит между $4\cdot3{,}1=12{,}4$ и $4\cdot3{,}2=12{,}8$, то есть
  $12{,}4<4\pi<12{,}8$.

Из этих двух цепочек следует:

$$\frac{7\pi}{2}<12<4\pi.$$

Шаг 2. Приведение по модулю $2\pi$

Вычтем из всей цепочки $2\pi$:

$$\frac{7\pi}{2}-2\pi=\frac{3\pi}{2} \;<\; 12-2\pi \;<\; 4\pi-2\pi=2\pi.$$

Итак,

$$\frac{3\pi}{2}<\,12-2\pi\,<2\pi.$$

Значит, $\bar t=12-2\pi$ лежит в IV четверти.

Шаг 3. Знаки

IV четверть даёт $\big(\cos\bar t,\ \sin\bar t\big)=(+,-)$. Следовательно, для $M(12)$: $(+;\ -)$.

б) $N(15)$

Шаг 1. Оценки

Дано: $3{,}1<\pi<3{,}2$.

• $\displaystyle \frac{9\pi}{2}$ между $\frac{9\cdot3{,}1}{2}=13{,}95$ и $\frac{9\cdot3{,}2}{2}=14{,}4$, то есть
  $13{,}95<\frac{9\pi}{2}<14{,}4$.
• $5\pi$ между $5\cdot3{,}1=15{,}5$ и $5\cdot3{,}2=16$, то есть
  $15{,}5<5\pi<16$.

Следовательно,

$$\frac{9\pi}{2}<15<5\pi.$$

Шаг 2. Приведение по модулю $2\pi$

Здесь удобно вычесть $4\pi$ (а не $2\pi$), чтобы попасть сразу в $(0,2\pi)$:

$$\frac{9\pi}{2}-4\pi=\frac{\pi}{2} \;<\; 15-4\pi \;<\; 5\pi-4\pi=\pi.$$

Значит,

$$\frac{\pi}{2}<\,15-4\pi\,<\pi,$$

то есть $\bar t=15-4\pi$ во II четверти.

Шаг 3. Знаки

II четверть: $(\cos,\sin)=(-,+)$. Для $N(15)$: $(-;\ +)$.

в) $P(52)$

Шаг 1. Оценки (берём точнее: $3{,}14<\pi<3{,}15$)

• $\displaystyle \frac{33\pi}{2}$ между $\frac{33\cdot3{,}14}{2}=51{,}81$ и $\frac{33\cdot3{,}15}{2}=51{,}975$, т.е.
  $51{,}81<\frac{33\pi}{2}<51{,}975$.
• $17\pi$ между $17\cdot3{,}14=53{,}38$ и $17\cdot3{,}15=53{,}55$, т.е.
  $53{,}38<17\pi<53{,}55$.

Получаем:

$$\frac{33\pi}{2}<52<17\pi.$$

Шаг 2. Приведение по модулю $2\pi$

Вычитаем $16\pi$ (так сразу попадём в $(0,2\pi)$):

$$\frac{33\pi}{2}-16\pi=\frac{\pi}{2} \;<\; 52-16\pi \;<\; 17\pi-16\pi=\pi.$$

Итак,

$$\frac{\pi}{2}<\,52-16\pi\,<\pi,$$

то есть $\bar t=52-16\pi$ лежит во II четверти.

Шаг 3. Знаки

II четверть: $(\cos,\sin)=(-,+)$. Для $P(52)$: $(-;\ +)$.

г) $Q(100)$

Шаг 1. Оценки (точнее: $3{,}14<\pi<3{,}15$)

• $\displaystyle \frac{63\pi}{2}$ между $\frac{63\cdot3{,}14}{2}=98{,}91$ и $\frac{63\cdot3{,}15}{2}=99{,}225$, т.е.
  $98{,}91<\frac{63\pi}{2}<99{,}225$.
• $32\pi$ между $32\cdot3{,}14=100{,}48$ и $32\cdot3{,}15=100{,}8$, т.е.
  $100{,}48<32\pi<100{,}8$.

Следовательно,

$$\frac{63\pi}{2}<100<32\pi.$$

Шаг 2. Приведение по модулю $2\pi$

Вычтем $30\pi$ (то есть $60\pi/2$):

$$\frac{63\pi}{2}-30\pi=\frac{63\pi-60\pi}{2}=\frac{3\pi}{2} \;<\; 100-30\pi \;<\; 32\pi-30\pi=2\pi.$$

Получаем

$$\frac{3\pi}{2}<\,100-30\pi\,<2\pi,$$

значит $\bar t=100-30\pi$ в IV четверти.

Шаг 3. Знаки

IV четверть: $(\cos,\sin)=(+,-)$. Для $Q(100)$: $(+;\ -)$.

Итоговые знаки:

• $M(12)$: $(+;\ -)$.
• $N(15)$: $(-;\ +)$.
• $P(52)$: $(-;\ +)$.
• $Q(100)$: $(+;\ -)$.