ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите на числовой окружности точки с абсциссой или ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству, и запишите (с помощью двойного неравенства), каким числам t они соответствуют:

а) $x > 0$;

б) $x < \frac{1}{2}$;

в) $x > \frac{1}{2}$;

г) $x < 0$

Найти все точки, координаты которых удовлетворяют неравенству, и записать каким числам $t$ они соответствуют:

а) $x > 0$;
Дуга ограничена точками:

$$M_1(0; -1) = M_1\left(\frac{3\pi}{2}\right) = M_1\left(-\frac{\pi}{2}\right);$$ $$M_2(0; 1) = M_2\left(\frac{\pi}{2}\right);$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

б) $x < \frac{1}{2}$;
Дуга ограничена точками:

$$M_1\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{3}\right);$$ $$M_2\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{3}\right);$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$$

в) $x > \frac{1}{2}$;
Дуга ограничена точками:

$$M_1\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{5\pi}{3}\right) = M_1\left(-\frac{\pi}{3}\right);$$ $$M_2\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{\pi}{3}\right);$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

г) $x < 0$;
Дуга ограничена точками:

$$M_1(0; 1) = M_1\left(\frac{\pi}{2}\right);$$ $$M_2(0; -1) = M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right);$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Рассматриваем единичную окружность с параметризацией

$$M(t)=(x(t),y(t))=(\cos t,\ \sin t),\qquad t\in\mathbb{R}.$$

Тогда любая точка $M$ на окружности соответствует некоторому $t$ (и всем $t+2\pi n$, так как $\cos$ и $\sin$ имеют период $2\pi$).

Во всех пунктах речь идёт об условии на $x$-координату точки, то есть об неравенствах на $\cos t$.
Границами дуг служат точки, где неравенство превращается в равенство (то есть $\cos t$ равен пороговому значению).
Так как везде стоят строгие неравенства ($>$ или $<$), граничные точки не включаются в ответ по $t$ — будут строго открытые интервалы.

Полезные опорные факты:

• $\cos t$ положителен на «правой» полуокружности: $t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)+2\pi n$.
• $\cos t$ отрицателен на «левой» полуокружности: $t\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)+2\pi n$.
• $\cos t=\alpha$ даёт две граничные точки в одном обороте: $t=\arccos\alpha$ и $t=2\pi-\arccos\alpha$.
• Периодичность: если $t_0$ — решение, то $t_0+2\pi n$ — тоже решение, $n\in\mathbb{Z}$.

а) $x>0$ $\iff \cos t>0$

Границы

$$\cos t=0\quad\Longleftrightarrow\quad t=\frac{\pi}{2}+ \pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

В одном обороте это точки $t=\frac{\pi}{2}$ и $t=\frac{3\pi}{2}$ (эквивалентно $t=-\frac{\pi}{2}$):

• $t=\frac{\pi}{2}\Rightarrow M_2=(0,1).$
• $t=\frac{3\pi}{2}$ (или $-\frac{\pi}{2}$) $\Rightarrow M_1=(0,-1).$

Эти точки даны в условии как границы дуги.

Знак внутри

На промежутке $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ косинус положителен (правая полуокружность).

Учёт строгой границы и периодичности

Так как $x>0$ — строго, то концы исключаем и добавляем период $2\pi n$:

$$\boxed{\ -\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\ }.$$

б) $x<\frac{1}{2}$ $\iff \cos t<\frac{1}{2}$

Опорный угол

$$\arccos\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}.$$

В одном обороте решения $\cos t=\frac{1}{2}$ — это

$$t=\frac{\pi}{3}\quad\text{и}\quad t=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.$$

Соответствующие точки:

• $t=\frac{\pi}{3}\Rightarrow M_1\!\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right)$.
• $t=\frac{5\pi}{3}\Rightarrow M_2\!\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2}\right)$.

Они и указаны как границы дуги.

Где $\cos t<\frac{1}{2}$?

На единичной окружности $\cos t$ убывает на $[0,\pi]$ от $1$ до $-1$, а затем возрастает на $[\pi,2\pi]$.
Значения $\cos t\ge\frac{1}{2}$ достигаются только «около» нуля, то есть для $t\in\left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right]$ (с точностью до периода).
Следовательно, меньше $\frac{1}{2}$ косинус на «противоположной» дуге:

$$t\in\left(\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right)\quad(\text{концы исключаем из-за строгости}).$$

С периодичностью

$$\boxed{\ \frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\ }.$$

в) $x>\frac{1}{2}$ $\iff \cos t>\frac{1}{2}$

Те же граничные углы, что и в (б): $t=\frac{\pi}{3}$ и $t=\frac{5\pi}{3}$.
Теперь нужна внутренняя относительно нуля дуга, где $\cos t$ больше $\frac{1}{2}$:

$$t\in\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right)\quad(\text{открытый интервал}).$$

Граничные точки соответствуют:

• $t=\frac{5\pi}{3}$ (эквивалентно $t=-\frac{\pi}{3}$) $\Rightarrow M_1\!\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2}\right)$.
• $t=\frac{\pi}{3}\Rightarrow M_2\!\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right)$.

С периодичностью:

$$\boxed{\ -\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\ }.$$

г) $x<0$ $\iff \cos t<0$

Границы

$$\cos t=0\ \Longleftrightarrow\ t=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}\ (\text{в одном обороте}).$$

Это точки:

• $t=\frac{\pi}{2}\Rightarrow M_1=(0,1)$.
• $t=\frac{3\pi}{2}\Rightarrow M_2=(0,-1)$.

Знак внутри

Между этими углами лежит «левая» полуокружность, где $\cos t<0$:

$$t\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right).$$

С периодичностью

$$\boxed{\ \frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\ }.$$