ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите на числовой окружности точки с абсциссой или ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству, и запишите (с помощью двойного неравенства), каким числам t они соответствуют:

а) $x < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $x \leq -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Найти все точки, координаты которых удовлетворяют неравенству, и записать, каким числам $t$ они соответствуют:

а) $x < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right);$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$.

б) $x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{4} \right) = M_1 \left( -\frac{3\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{3\pi}{4} \right);$$

Ответ: $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

в) $x \leq -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{6} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{6} \right);$$

Ответ: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq t \leq \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

г) $x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{11\pi}{6} \right) = M_1 \left( -\frac{\pi}{6} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{\pi}{6} \right);$$

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq t \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Любая точка $M(t)$ единичной окружности имеет координаты

$$x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t\in\mathbb R,$$

где $t$ — угол (в радианах), отсчитываемый от оси $Ox$ против часовой стрелки.
Во всех пунктах нужно преобразовать неравенство для $x$ в неравенство для $\cos t$, найти граничные углы из уравнения $\cos t=\text{(порог)}$, понять, между какими из этих углов выполняется знак «$>$» или «$<$», и наконец дописать периодичность $+2\pi n$.

Полезные опорные значения:

$$\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

а) $x<\dfrac{\sqrt2}{2}$

Переводим на язык углов: $\cos t<\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Решаем граничное уравнение $\cos t=\dfrac{\sqrt2}{2}$.
Общие решения: $t=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n$. На отрезке $[0,2\pi)$: это $t=\frac{\pi}{4}$ и $t=\frac{7\pi}{4}$.

Где $\cos t$ меньше $\frac{\sqrt2}{2}$?
Значения $\cos t$ максимальны у нуля и убывают до $-1$ к $\pi$, затем вновь растут к $2\pi$. Значит, $\cos t>\frac{\sqrt2}{2}$ только на «короткой» дуге возле нуля $\bigl(-\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{4}\bigr)$. Вне её (на «большой» дуге) $\cos t<\frac{\sqrt2}{2}$.

Учитываем строгость знака: концы не входят.

Ответ:

$$\boxed{\ \frac{\pi}{4}+2\pi n\;<\;t\;<\;\frac{7\pi}{4}+2\pi n\ }\!.$$

б) $x>-\dfrac{\sqrt2}{2}$

Это $\cos t>-\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Граница: $\cos t=-\dfrac{\sqrt2}{2}\Rightarrow t=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n$.
На $[0,2\pi)$: $t=\frac{3\pi}{4}$ и $t=\frac{5\pi}{4}$ (эквивалентно $-\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$).

Где $\cos t$ больше $-\frac{\sqrt2}{2}$?
Это «правее» вертикали $x=-\frac{\sqrt2}{2}$, то есть длинная центральная дуга, не содержащая точки около $\pi$ левее оси $Oy$. Удобнее записать симметрично вокруг нуля: $\bigl(-\frac{3\pi}{4},\,\frac{3\pi}{4}\bigr)$.

Знак строгий ⇒ концы не входят.

Ответ:

$$\boxed{\ -\frac{3\pi}{4}+2\pi n\;<\;t\;<\;\frac{3\pi}{4}+2\pi n\ }\!.$$

в) $x\le -\dfrac{\sqrt3}{2}$

Это $\cos t\le -\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Граница: $\cos t=-\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow t=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
На $[0,2\pi)$: $t=\frac{5\pi}{6}$ и $t=\frac{7\pi}{6}$.

Где $\cos t$ не больше $-\frac{\sqrt3}{2}$?
Это самая «левая» узкая дуга вокруг угла $\pi$, между $150^\circ$ и $210^\circ$.

Неравенство нестрогое ⇒ концы входят.

Ответ:

$$\boxed{\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n\;\le\;t\;\le\;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\ }\!.$$

г) $x\ge \dfrac{\sqrt3}{2}$

Это $\cos t\ge \dfrac{\sqrt3}{2}$.

Граница: $\cos t=\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow t=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
На $[0,2\pi)$: $t=\frac{\pi}{6}$ и $t=\frac{11\pi}{6}$ (то же, что $-\frac{\pi}{6}$).

Где $\cos t$ не меньше $\frac{\sqrt3}{2}$?
Это «правая» узкая дуга вокруг оси $Ox$ у нуля: от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$.

Нестрогое ⇒ концы входят.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{\pi }{6}+2\pi n\le t\le \frac{\pi }{6}+2\pi n}}\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{.}$$