ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите на числовой окружности точки с абсциссой или ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству, и запишите (с помощью двойного неравенства), каким числам t они соответствуют:

а) $y > 0$;

б) $y < \frac{1}{2}$;

в) $y > \frac{1}{2}$;

г) $y < 0$

Найти все точки, координаты которых удовлетворяют неравенству, и записать каким числам $t$ они соответствуют:

а) $y > 0$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1(1; 0) = M_1(0);$$ $$M_2(-1; 0) = M_2(\pi);$$

Ответ: $2\pi n < t < \pi + 2\pi n$.

б) $y < \frac{1}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) = M_1\left(\frac{5\pi}{6}\right) = M_1\left(-\frac{7\pi}{6}\right);$$ $$M_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) = M_2\left(\frac{\pi}{6}\right);$$

Ответ: $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

в) $y > \frac{1}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{6}\right);$$ $$M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{6}\right);$$

Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

г) $y < 0$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1(-1; 0) = M_1(\pi) = M_1(-\pi);$$ $$M_2(1; 0) = M_2(0);$$

Ответ: $-\pi + 2\pi n < t < 2\pi n$.

Точки на единичной окружности параметризуем углом $t$:

$$x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t\in\mathbb{R}.$$

Тогда любое условие на $y$ — это неравенство для $\sin t$.
Границы дуг даются решениями соответствующих уравнений $\sin t = c$.
Периодичность: $\sin(t+2\pi n)=\sin t$, поэтому все ответы записываем с $+\,2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.
Концы интервальных ответов не включаются, так как везде строгие неравенства.

а) $y>0$ ⇔ $\sin t>0$

$\sin t=0$ на $t=0+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$ — это точки $(1,0)$ и $(-1,0)$.

Знак $\sin t$ положителен в I и II четвертях: $0<t<\pi$ (в пределах одного круга).

С учётом периодичности:

$$\boxed{\,2\pi n<t<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\,}.$$

Геометрически — верхняя полуокружность без концов $(1,0)$ и $(-1,0)$.

б) $y<\tfrac12$ ⇔ $\sin t<\tfrac12$

Найдём граничные углы из $\sin t=\tfrac12$.
Опорный (острый) угол: $\alpha=\arcsin(\tfrac12)=\frac{\pi}{6}$.
Во втором квадранте симметричный угол: $\pi-\alpha=\frac{5\pi}{6}$.
Значит, $\sin t=\tfrac12$ при

$$t=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad\text{и}\quad t=\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

Точки на окружности:
$\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12\bigr)$ — при $t=\frac{\pi}{6}$;
$\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12\bigr)$ — при $t=\frac{5\pi}{6}$ (а также при $-\frac{7\pi}{6}$, что та же точка).

Где $\sin t\ge \tfrac12$? Между этими двумя углами на верхней дуге: $\tfrac{\pi}{6}\le t\le \tfrac{5\pi}{6}$.
Тогда $\sin t<\tfrac12$ — вне этой дуги.

Потому один полный круг можно записать как объединение

$$\left(\tfrac{5\pi}{6},\,\tfrac{13\pi}{6}\right) \quad\text{(что эквивалентно}\quad \left(-\tfrac{7\pi}{6},\,\tfrac{\pi}{6}\right)\text{ по модулю }2\pi\text{)}.$$

Стандартная компактная запись:

$$\boxed{\, -\frac{7\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\,}.$$

Геометрически — вся окружность, кроме короткой верхней дуги между
$\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12\bigr)$ и $\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12\bigr)$.

в) $y>\tfrac12$ ⇔ $\sin t>\tfrac12$

Те же граничные углы $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$ (см. часть б).

Теперь берём между ними (строго внутри, концы исключаем):

$$\boxed{\, \frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\,}.$$

Геометрически — короткая верхняя дуга вокруг $y$-максимума $(0,1)$.

г) $y<0$ ⇔ $\sin t<0$

$\sin t=0$ — как и в (а): $t=0+\pi k$.

$\sin t<0$ в III и IV четвертях. За один круг это $\pi<t<2\pi$.

Эквивалентная запись с симметрией относительно нуля:

$$\boxed{\, -\pi+2\pi n<t<2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\,}.$$

Геометрически — нижняя полуокружность без концов $(\pm1,0)$.

Итог:

а) $2\pi n<t<\pi+2\pi n$.

б) $-\tfrac{7\pi}{6}+2\pi n<t<\tfrac{\pi}{6}+2\pi n$.

в) $\tfrac{\pi}{6}+2\pi n<t<\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n$.

г) $-\pi+2\pi n<t<2\pi n$.